[论文解读] Commutant structuture of Ux...xUxU* transformations

Michał Studziński, Michał Horodecki+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Advanced Topics in Algebra被引用 4

一句话总结

本文提供了对 $ n $-qudit 系统中最后一个子系统上部分转置置换算符代数的不可约表示（irreps）的直接构造，推广了 $ U \otimes U^* $ 交换子结构。利用对称群 $ S(n) $、Brauer 代数和墙式 Brauer 代数的表示理论，本文证明当 $ d > n-2 $ 时，$ U^{ imes(n-1)} \otimes U^* $-不变算符代数 $ \mathcal{A} $ 是半单的，并对所有 $ d $ 和 $ n $ 给出了完整的不可约分解，通过群特征标和投影算符显式构造了不可约表示。

ABSTRACT

In this paper we have found irreducible representations (irreps) of the algebra of partially transposed permutation operators on last subsystem. We give here direct method of irreps construction for an arbitrary number of subsystems n and local dimension d. Our method is inspired by representation theory of symmetric group S(n), theory of Brauer Algebras and Walled Brauer Algebras.

研究动机与目标

• 确定任意 $ n $ 和局部维度 $ d $ 下，$ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $ 变换的交换子代数 $ \mathcal{A} $ 的完整不可约分解。
• 建立一种直接方法来构造 $ \mathcal{A} $ 的不可约表示（irreps），受对称群表示理论和 Brauer 代数结构的启发。
• 阐明当 $ d > n-1 $ 时 $ \mathcal{A} $ 同构于墙式 Brauer 代数的条件，并分析当 $ d \leq n-1 $ 时该同构失败的原因。
• 研究 $ \mathcal{A} $ 的半单性，证明即使墙式 Brauer 代数非半单，$ \mathcal{A} $ 在 $ d \leq n-2 $ 时仍保持半单。
• 通过有限群表示理论中的特征标和正交关系，提供不可约投影算符 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} $ 的显式公式。

提出的方法

• 利用 Schur-Weyl 对偶性和对称群 $ S(n) $ 的表示理论，分解 $ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $ 在希尔伯特空间上的作用。
• 通过 $ S(n) $ 的群代数构造代数 $ \mathcal{A} $ 的不可约表示，其中不可约表示由 $ n $ 的分拆标记，利用特征标正交性定义投影算符 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} $。
• 应用不可约表示的基本正交关系：$ \frac{1}{n!} \sum_{g \in G} D_{ij}^{\alpha}(g) D_{kl}^{\beta}(g^{-1}) = \frac{1}{d_\alpha} \delta^{\alpha\beta} \delta_{ik} \delta_{jl} $，推导出矩阵复合规则 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} \operatorname{E}_{kl}^{\beta} = \delta^{\alpha\beta} \delta_{jk} \operatorname{E}_{il}^{\alpha} $。
• 使用公式 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} = \frac{d_\alpha}{n!} \sum_{g \in S(n)} D_{ij}^{\alpha}(g) D(g) $，其中 $ D(g) $ 是 $ g \in S(n) $ 对应的置换算符，定义代数 $ \mathcal{A} $ 中的不可约投影。
• 分析 $ \mathcal{A} $ 的维数，表明当 $ d > n-1 $ 时其维数为 $ n! $，但当 $ d \leq n-1 $ 时因基算符间的线性相关性而低于 $ n! $（例如，反对称投影算符在 $ d = n-1 $ 时消失）。
• 将 $ \mathcal{A} $ 与墙式 Brauer 代数进行比较，证明仅当 $ d > n-1 $ 时二者同构，且证明即使墙式 Brauer 代数非半单，$ \mathcal{A} $ 在 $ d > n-2 $ 时仍保持半单。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ n $-qudit 系统中最后一个子系统上部分转置置换算符的代数 $ \mathcal{A} $，其完整的不可约分解是什么？
• RQ2 在何种条件下代数 $ \mathcal{A} $ 同构于墙式 Brauer 代数，且当 $ d \leq n-1 $ 时该同构为何会失败？
• RQ3 代数 $ \mathcal{A} $ 的半单性如何依赖于局部维度 $ d $ 和子系统数量 $ n $？与墙式 Brauer 代数的半单性相比有何异同？
• RQ4 能否发展一种直接、构造性方法，利用特征标和投影算符来构建 $ \mathcal{A} $ 的不可约表示？
• RQ5 对称群 $ S(n) $ 及其不可约表示在分解 $ \mathcal{A} $ 中起什么作用？它们与 $ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $-不变算符的结构有何关联？

主要发现

• 当且仅当 $ d > n-1 $ 时，$ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $-不变算符代数 $ \mathcal{A} $ 的维数为 $ n! $，当 $ d \leq n-1 $ 时其维数严格更小，这是由于基算符之间存在线性相关性。
• 当且仅当 $ d > n-2 $ 时，代数 $ \mathcal{A} $ 是半单的，且该条件对于不可约表示的完整分解存在而言是必要且充分的。
• 当 $ d > n-1 $ 时，$ \mathcal{A} $ 同构于维数为 $ n! $ 的墙式 Brauer 代数，但当 $ d \leq n-1 $ 时该同构失败，尽管 $ \mathcal{A} $ 仍保持半单。
• 代数 $ \mathcal{A} $ 的不可约表示通过公式 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} = \frac{d_\alpha}{n!} \sum_{g \in S(n)} D_{ij}^{\alpha}(g) D(g) $ 显式构造，其中 $ D^{\alpha} $ 是 $ S(n) $ 的不可约表示，且这些算符满足矩阵复合规则 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} \operatorname{E}_{kl}^{\beta} = \delta^{\alpha\beta} \delta_{jk} \operatorname{E}_{il}^{\alpha} $。
• 该构造为所有 $ d $ 和 $ n $ 提供了一组正交投影 $ \operatorname{E}_{ii}^{\alpha} $，可将 $ n $-qudit 希尔伯特空间上的单位算符分解为不可约分量。
• 本文建立表明，具有 $ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $ 对称性的多体态的 PPT 准则可通过 $ \mathcal{A} $ 的表示理论进行分析，显式不可约表示使谱分析和可分性检验成为可能。