[论文解读] Commutation properties of the form sum of positive, symmetric operators

Bálint Farkas, Máté Matolcsi|ArXiv.org|Dec 1, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新的构造方法，用于正对称算子的形式和，通过在完备化值空间之间的稠密定义算子的伴随算子实现，推广了自伴算子的标准形式和。关键贡献在于建立了该扩张与有界算子的交换性质，表明在特定定义域条件下，形式和保持交换性，并提供了反例，说明形式和与代数和的克雷因（Krein）和弗里德里奇斯（Friedrichs）扩张不同。

ABSTRACT

A new construction for the form sum of positive, selfadjoint operators is given in this paper. The situation is a bit more general, because our aim is to add positive, symmetric operators. With the help of the used method, some commutation properties of the form sum extension are observed.

研究动机与目标

• 将正自伴算子的形式和构造推广至可能具有非稠密定义域的正对称算子情形。
• 研究形式和扩张与有界算子交换的条件。
• 澄清形式和与其他算子扩张（如克雷因-冯诺依曼和弗里德里奇斯扩张）之间的关系。
• 提供显式反例，说明两个自伴算子的形式和可能不同于其代数和的克雷因或弗里德里奇斯扩张。

提出的方法

• 将正对称算子 $a$ 的形式定义域 $\mathrm{D_{\ast}}(a)$ 定义为所有满足对所有 $x \in \mathrm{dom}\,a$ 有 $|(ax,y)|^2 \leq m_y (ax,x)$ 的向量 $y$ 的集合。
• 在 $\mathrm{ran}\,a \oplus \mathrm{ran}\,b$ 上定义算子 $J: \mathfrak{H}_a \oplus \mathfrak{H}_b \to \mathfrak{H}$，由 $J(ax \oplus by) = ax + by$ 给出，其中 $\mathfrak{H}_a$ 是 $\mathrm{ran}\,a$ 关于内积 $\langle ax, ay \rangle = (ax, y)$ 的完备化空间。
• 证明 $\mathrm{dom}\,J^* = \mathrm{D_{\ast}}(a) \cap \mathrm{D_{\ast}}(b)$，且对 $u \in \mathrm{dom}\,a \cap \mathrm{dom}\,b$ 有 $J^*u = au \oplus bu$，从而确保伴随算子是稠密定义的。
• 证明 $J^{**}J^*$ 是正自伴算子，并证明其在 $\mathrm{dom}\,a \cap \mathrm{dom}\,b$ 上扩张 $a + b$，从而定义了形式和。
• 利用表示定理将 $J^{**}J^*$ 识别为形式和 $a \stackrel{.}{+} b$，并验证当 $a$ 和 $b$ 为自伴算子时，其退化为标准形式和。
• 通过证明若 $T$ 与 $a$ 和 $b$ 交换，则在定义域交集条件下 $T$ 也与 $J^{**}J^*$ 交换，从而展示其与有界算子的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个正对称算子的形式和扩张与有界算子交换？
• RQ2 该形式和的新构造与自伴算子的经典形式和有何关系？
• RQ3 形式和 $a \stackrel{.}{+} b$ 是否可能不同于代数和 $a + b$ 的克雷因-冯诺依曼或弗里德里奇斯扩张？
• RQ4 在何种条件下可保证 $a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{K}}$ 或 $a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{F}}$？
• RQ5 是否可能构造出形式和不等于代数和扩张的显式例子？

主要发现

• 通过 $J^{**}J^*$ 构造的形式和 $a \stackrel{.}{+} b$ 在 $\mathrm{dom}\,a \cap \mathrm{dom}\,b$ 上扩张 $a + b$，且当 $\mathrm{D_{\ast}}(a) \cap \mathrm{D_{\ast}}(b)$ 稠密时，该形式和为自伴算子。
• 该构造推广了自伴算子的标准形式和，因为当 $a$ 和 $b$ 为自伴算子时，$J^{**}J^*$ 与 $a \stackrel{.}{+} b$ 一致。
• 若有界算子 $T$ 与 $a$ 和 $b$ 均交换，且 $\mathrm{D_{\ast}}(a) \cap \mathrm{D_{\ast}}(b)$ 关于 $T$ 不变，则 $T$ 与 $a \stackrel{.}{+} b$ 交换。
• 存在反例使得 $a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{K}}$，例如当对称算子的克雷因和弗里德里奇斯扩张具有非零亏指数时。
• 类似地，当使用中间扩张 $a_{\mathsf{M}}$ 时，也可能出现 $a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{F}}$，前提是 $a_{\mathsf{M}}$ 的形式不是 $a_{\mathsf{K}}$ 形式的限制。
• 通过在 $\ker a^*$ 上构造一个正闭形式，提供了此类反例的显式构造，表明只要 $\dim(\ker a^*) > 0$，此类扩张即存在。