[论文解读] Commutative Hopf algebras of permutations and trees

Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli+1 more|ArXiv.org|Feb 22, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文通过在交换不定元上的图基框架，构建了排列和树的交换霍普夫代数，建立了与非交换霍普夫代数（如Grossman-Larson代数）的对偶代数之间的同构。它引入了标准组合霍普夫代数的一参量形变，表明其在特定参数值下表现出量子群结构，具有经典极限。

ABSTRACT

We propose several constructions of commutative or cocommutative Hopf algebras based on various combinatorial structures, and investigate the relations between them. A commutative Hopf algebra of permutations is obtained by a general construction based on graphs, and its non-commutative dual is realized in three different ways, in particular as the Grossman-Larson algebra of heap ordered trees. Extensions to endofunctions, parking functions, set partitions, planar binary trees and rooted forests are discussed. Finally, we introduce one-parameter families interpolating between different structures constructed on the same combinatorial objects.

研究动机与目标

• 通过图基不定元系统地从排列和树等组合结构构造交换霍普夫代数。
• 建立这些交换代数与已知霍普夫代数（如Grossman-Larson代数）的非交换对偶代数之间的同构关系。
• 将构造推广至自映射、停车函数、集合划分和根树。
• 探索插值于标准与形变霍普夫代数结构之间的一参量族，暗示其具有量子群解释。

提出的方法

• 通过交换不定元 x_{ij} 和关系 x_{ij}x_{ik} = 0 定义代数 R/J，作为端自映射 f 的 M_f 多项式的基础。
• 构造霍普夫代数 EQSym 为由 M_f 生成的子代数，其乘法通过排列的交错积定义，系数 C_{f,g}^h 计数满足条件的有效重排。
• 定义余乘法 ΔM_h = ∑_{f•g=h} M_f ⊗ M_g，使 EQSym 成为一个交换但非余交换的霍普夫代数。
• 将分次对偶 ESym = EQSym* 实现为由连通端自映射的对偶基生成的余交换、连通霍普夫代数。
• 在 FQSym 上引入一参量族的扭曲余乘法 Δ_q，插值于标准 FQSym（q 通用）与交换 QSym（q=0）之间。
• 定义超平面与Sylvester同余的 q-类比，以构造 FQSym 的 q-形变商代数，其同构于 QSym_q 与平面二叉树的扭曲霍普夫代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从图基不定元系统地构造排列和树的交换霍普夫代数？
• RQ2 这些交换霍普夫代数与标准组合霍普夫代数（如Grossman-Larson代数）的非交换对偶代数之间有何关系？
• RQ3 标准霍普夫代数（如 FQSym）的一参量形变是否产生具有经典极限的量子群结构？
• RQ4 能否定义超平面与Sylvester同余的 q-类比，以实现 QSym 和 Loday-Ronco 代数的 q-形变版本？
• RQ5 是否存在一个统一框架，通过参数化霍普夫代数结构实现包络代数与其对偶之间的插值？

主要发现

• 由端自映射 f 的 M_f 生成的代数 EQSym 是一个交换但非余交换的霍普夫代数，其乘法为 M_f M_g = ∑ C_{f,g}^h M_h，其中 C_{f,g}^h 计数满足 h = τ⁻¹∘(f•g)∘τ 的交错重排。
• 霍普夫代数 ESym = EQSym* 是余交换的，且由连通端自映射的对偶基自由生成，其乘法由移位连接给出。
• 霍普夫代数 EQSym 同构于堆有序树的 Grossman-Larson 代数的非交换对偶，建立了非平凡的对偶关系。
• 在 FQSym 上定义的一参量族扭曲余乘法 Δ_q 插值于 FQSym（q 通用）与 QSym（q=0）之间，Δ_q 是代数同态，且对通用 q 同构于 FQSym。
• FQSym 在 q-超平面商 ≡_{qH} 下的像是作为扭曲霍普夫代数同构于 QSym_q，其字母满足 q-交换关系。
• q-Sylvester 同余 ≡_{qS} 产生一个同构于平面二叉树的 Loday-Ronco 代数 q-形变的扭曲霍普夫代数。