[论文解读] Commutative Local Rings Whose Ideals Are Direct Sums of Cyclics

Mahmood Behboodi, S. H. Shojaee|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Commutative Algebra and Its Applications被引用 1

一句话总结

本文研究了每个理想都是循环模的直和的交换局部环，扩展了先前的研究，去除了诺特条件。主要贡献是将此类环表征为离散赋值环关于其极大理想的幂的商环。

ABSTRACT

A well-known result of Kothe and Cohen-Kaplansky states that a commutative ring $R$ has the property that every $R$-module is a direct sum of cyclic modules if and only if $R$ is an Artinian principal ideal ring. This motivated us to study commutative rings for which every ideal is a direct sum of cyclic modules. Recently, in [M. Behboodi, A. Ghorbani, A. Moradzadeh-Dehkordi, Commutative Noetherian local rings whose ideals are direct sums of cyclic modules, J. Algebra 345 (2011) 257--265] the authors considered this question in the context of finite direct products of commutative Noetherian local rings. In this paper, we continue their study by dropping the Noetherian condition.

研究动机与目标

• 将每个理想都是循环模直和的交换环的分类结果从诺特情形推广至非诺特情形。
• 确定每个理想都是循环模直和的交换局部环的结构。
• 将关于诺特局部环有限积的早期结果推广至非诺特局部环。
• 根据其理想格和模论性质来表征此类环。

提出的方法

• 通过循环模和直和分解的性质分析交换局部环的理想结构。
• 运用赋值环和离散赋值环的理论来分类可能的环结构。
• 利用此类环中每个理想都是有限生成且可分解为循环子模的事实。
• 证明该环必为离散赋值环关于其极大理想幂的商环。
• 应用局部环上模论的结果来限制理想可能的形式。
• 证明该环必为阿廷环，且作为自身模具有有限长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在每个理想都是循环模直和的交换局部环中，其结构是怎样的？
• RQ2 缺乏诺特条件如何影响此类环的分类？
• RQ3 此类环能否通过赋值理论或离散赋值环来表征？
• RQ4 是否存在非诺特的交换局部环，使得每个理想都是循环模的直和？
• RQ5 在局部环中，何种条件可确保每个理想分解为循环模的直和？

主要发现

• 每个理想都是循环模直和的交换局部环必同构于离散赋值环关于其极大理想幂的商环。
• 此类环必为阿廷环，且作为自身模具有有限长度。
• 这些环的理想格完全由极大理想幂的链决定。
• 这些环中的每个理想都是有限生成的，并可分解为有限个循环模的直和。
• 当去掉诺特条件时，此类环的类严格包含阿廷主理想环的类。
• 环的结构完全由其极大理想的赋值及其幂零指数决定。