[论文解读] Commutative quotients of finite W-algebras

Alexander Premet|ArXiv.org|Sep 3, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文建立了有限 W-代数的 1 维表示与模李代数的约化包络代数中大简单模的存在性之间的联系。证明了若有限 W-代数 $ U(\frak{g},e) $ 允许 1 维表示，则约化包络代数 $ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ 拥有一个维数为 $ p^{d(\bar{e})} $ 的简单模，其中 $ d(\bar{e}) $ 为幂零轨道维数的一半。该研究通过归纳法与 Kostant 的截面理论，将 1 维表示问题约化至例外李代数 $ F_4, E_6, E_7, E_8 $ 中的刚性轨道。

ABSTRACT

Let U(g,e) be the finite W-algebra associated with a nilpotent element e in a simple Lie algebra g and assume that e is induced from a nilpotent element e_0 in a Levi subalgebra l of g. We show that if the finite W-algebra U(l,e_0) has a 1-dimensional representation, then so does U(g,e). For g classical (and in may other cases), we compute the Krull dimension of the largest commutative quotient of U(g,e). Some applications to representation theory of modular counterparts of g are given.

研究动机与目标

• 解决 [33, 猜想 3.1(1)] 关于有限 W-代数 1 维表示存在性的问题。
• 建立 $ U(\frak{g},e) $ 的 1 维表示与正特征下约化包络代数 $ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ 中大简单模存在性之间的联系。
• 将有限 W-代数 1 维表示的分类问题约化至例外李代数 $ F_4, E_6, E_7, E_8 $ 中的刚性幂零轨道情形。
• 利用 Kostant 的截面理论与 Katsylo 关于层的结果，确定 $ U(\frak{g},e) $ 的最大交换商的 Krull 维数，在许多情形下实现该目标。

提出的方法

• 对足够大的素数 $ p $ 取模，将模李代数 $ χ(\frak{g}_\bk) $ 上的表示上移至特征零。
• 应用 [34] 中的方法，将其适配至 $ \mathbb{C} $ 的有限生成 $ \mathbb{Z} $-子代数，以在正特征下构造不可约表示。
• 使用广义 Gelfand–Graev 模 $ Q_\chi $ 及其自同态代数 $ U(\frak{g},e) $，后者同构于仿射 $ W $-代数的 Zhu 代数。
• 利用 $ U(\frak{g},e) \cong \mathrm{End}_{\frak{g}}(Q_\chi)^{\mathrm{op}} $ 的事实，其中 $ Q_\chi $ 是从 1 维 $ \frak{m} $-模诱导而来。
• 应用 Katsylo 关于层截面的结果，分析 $ U(\frak{g},e) $ 的交换商的 Krull 维数。
• 依赖 Losev 对 $ \Gamma(e) $-作用在素理想谱映射纤维上的传递性的证明，从而将素理想谱分解为拟仿射代数簇的不交并。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限 W-代数 $ U(\frak{g},e) $ 允许 1 维表示？
• RQ2 有限 W-代数 $ U(\frak{g},e) $ 的 1 维表示如何与正特征下约化包络代数 $ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ 中大简单模的存在性相关联？
• RQ3 能否将有限 W-代数 1 维表示的分类问题约化至例外李代数中刚性幂零轨道的情形？
• RQ4 最大交换商 $ U(\frak{g},e) $ 的 Krull 维数是多少？如何利用几何与表示论工具计算该维数？

主要发现

• 若 $ U(\frak{g},e) $ 允许 1 维表示，则 $ U_\rho(\frak{g}_\bk) $ 拥有一个维数为 $ p^{d(\bar{e})} $ 的简单模，其中 $ d(\bar{e}) $ 为伴随轨道 $ \mathcal{O}_\bk $ 的维数的一半。
• 若 $ e $ 是从李代数 $ \frak{l} $ 中的幂零元 $ e_0 $ 诱导而来，且 $ U([\frak{l},\frak{l}], e_0) $ 允许 1 维表示，则 $ U(\frak{g},e) $ 也允许 1 维表示。
• 有限 W-代数 1 维表示的分类问题已约化至例外李代数 $ F_4, E_6, E_7, E_8 $ 中的刚性幂零轨道情形。
• 利用 Katsylo 关于层与截面的结果，在许多情形下确定了 $ U(\frak{g},e) $ 的最大交换商的 Krull 维数。
• 任意复半单李代数 $ \frak{g} $ 的 $ U(\frak{g}) $ 的素理想谱是可数个拟仿射代数簇的不交并。
• $ \Gamma(e) $ 在 $ U(\frak{g},e) $-模的不可约 $ d $-维表示集合上的作用在谱映射的纤维上是传递的，且轨道空间 $ \mathrm{Irr}_d / \Gamma(e) $ 是拟仿射代数簇。