[论文解读] Commutators of relative and unrelative elementary unitary groups

N. A. Vavilov, Zuhong Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2020

Finite Group Theory Research参考文献 66被引用 5

一句话总结

本文证明了Bak的酉群中混合换位子群 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$ 仅由初等换位子和初等共轭生成，无需额外的非显然生成元。本文证明了未相对化的换位子公式 $[\operatorname{FU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{FU}(2n,J,\Delta)] = [\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$，统一并简化了形式环上酉群换位子演算的先前结果。

ABSTRACT

In the present paper we find generators of the mixed commutator subgroups of relative elementary groups and obtain unrelativised versions of commutator formulas in the setting of Bak's unitary groups. It is a direct sequel of our similar results were obtained for $GL(n,R)$ and for Chevalley groups over a commutative ring with 1, respectively. Namely, let $(A,Λ)$ be any form ring and $n\ge 3$. We consider Bak's hyperbolic unitary group $GU(2n,A,Λ)$. Further, let $(I,Γ)$ be a form ideal of $(A,Λ)$. One can associate with $(I,Γ)$ the corresponding elementary subgroup $FU(2n,I,Γ)$ and the relative elementary subgroup $EU(2n,I,Γ)$ of $GU(2n,A,Λ)$. Let $(J,Δ)$ be another form ideal of $(A,Λ)$. In the present paper we prove an unexpected result that the non-obvious type of generators for $\big[EU(2n,I,Γ),EU(2n,J,Δ)\big]$, as constructed in our previous papers with Hazrat, are redundant and can be expressed as products of the obvious generators, the elementary conjugates $Z_{ij}(ab,c)=T_{ji}(c)T_{ij}(ab)T_{ji}(-c)$ and $Z_{ij}(ba,c)$, and the elementary commutators $Y_{ij}(a,b)=[T_{ji}(a),T_{ij}(b)]$, where $a\in(I,Γ)$, $b\in(J,Δ)$, $c\in(A,Λ)$. It follows that $\big[FU(2n,I,Γ),FU(2n,J,Δ)\big]= \big[EU(2n,I,Γ),EU(2n,J,Δ)\big]$. In fact, we establish much more precise generation results. In particular, even the elementary commutators $Y_{ij}(a,b)$ should be taken for one long root position and one short root position. Moreover, $Y_{ij}(a,b)$ are central modulo $EU(2n,(I,Γ)\circ(J,Δ))$ and behave as symbols. This allows us to generalise and unify many previous results,including the multiple elementary commutator formula, and dramatically simplify their proofs.

研究动机与目标

• 解决相对初等酉群混合换位子群中非显然生成元的冗余问题。
• 在Bak的酉群背景下建立未相对化的换位子公式。
• 利用初等换位子模同余子群的中心性质，推广并简化多个初等换位子公式。
• 统一并加强先前在酉群换位子演算中的结果，特别是与Bak和Hazrat合作的成果。
• 为未来关于Steinberg群、奇酉群以及酉群中界换位子宽度的研究奠定基础。

提出的方法

• 作者分析了Bak的双曲酉群 $\operatorname{GU}(2n,A,\Lambda)$ 中混合换位子群 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$ 的结构。
• 他们证明了此前被认为非显然的生成元可表示为初等共轭 $Z_{ij}(ab,c)$ 和 $Z_{ij}(ba,c)$ 以及初等换位子 $Y_{ij}(a,b) = [T_{ji}(a), T_{ij}(b)]$ 的乘积。
• 证明依赖于 $Y_{ij}(a,b)$ 模 $\operatorname{EU}(2n,(I,\Gamma)\circ(J,\Delta))$ 的中心性质，将其视为换位子演算中的符号。
• 分析扩展至长根与短根位置，通过形式理想 $(I,\Gamma)$ 和 $(J,\Delta)$ 中的元素显式参数化生成元。
• 借鉴了 $\operatorname{GL}(n,R)$ 和Chevalley群研究中的技术，采用相对局部化和换位子恒等式。
• 结果基于形式环 $(A,\Lambda)$ 及其形式理想 $(I,\Gamma)$、$(J,\Delta)$ 的结构性质，其中 $n \geq 3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合换位子群 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$ 的非显然生成元能否仅用初等共轭和初等换位子表示？
• RQ2 未相对化的换位子公式 $[\operatorname{FU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{FU}(2n,J,\Delta)] = [\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$ 是否在任意交换形式环上成立？
• RQ3 初等换位子 $Y_{ij}(a,b)$ 模同余子群的行为如何？能否将其用作符号生成元？
• RQ4 这些结果在多大程度上可推广至奇酉群和酉Steinberg群？
• RQ5 是否存在一个与环 $A$ 无关的统一界，使得 $[\operatorname{GU}(\Phi,A,I), E(\Phi,A,J)]$ 中的换位子长度有界？

主要发现

• 混合换位子群 $[\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$ 的非显然生成元是冗余的，可表示为初等共轭 $Z_{ij}(ab,c)$、$Z_{ij}(ba,c)$ 和初等换位子 $Y_{ij}(a,b)$ 的乘积。
• 未相对化的换位子公式成立：$[\operatorname{FU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{FU}(2n,J,\Delta)] = [\operatorname{EU}(2n,I,\Gamma), \operatorname{EU}(2n,J,\Delta)]$。
• 初等换位子 $Y_{ij}(a,b)$ 模 $\operatorname{EU}(2n,(I,\Gamma)\circ(J,\Delta))$ 具有中心性质，使其可作为符号生成元使用。
• 结果推广并简化了多个初等换位子公式，统一了先前在酉群换位子演算中的成果。
• 研究结果可推广至长根与短根位置，生成元由形式理想中的元素参数化。
• 本工作为未来关于有界换位子宽度以及奇酉群和Steinberg酉群的推广研究铺平了道路。