[论文解读] Commuting Local Hamiltonians on Expanders, Locally Testable Quantum codes, and the qPCP conjecture

Nelson, Jon, Gottesman, Daniel|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 11

一句话总结

本文建立了量子近似哈密顿量（CLHs）相互作用图中的小集合膨胀与近似其基态能量复杂度之间的联系，表明更好的膨胀使得近似问题更简单，并将该问题置于最优膨胀的 O(ε) 范围内，属于 NP。此外，该研究将此结果与局部可测试量子码（LTCs）的鲁棒性联系起来，证明较差的膨胀会降低码的鲁棒性，并开创了量子 PCP 近似（proximity）的研究，突出了对量子 PCP 猜想的根本性限制。

ABSTRACT

In this work we study a variant of the local Hamiltonian problem where we restrict to Hamiltonians that live on a lattice and are invariant under translations and rotations of the lattice. In the one-dimensional case this problem is known to be QMA_EXP-complete. On the other hand, if we fix the lattice length then in the high-dimensional limit the ground state becomes unentangled due to arguments from mean-field theory. We take steps towards understanding this complexity spectrum by studying a problem that is intermediate between these two extremes. Namely, we consider the regime where the lattice dimension is arbitrary but fixed and the lattice length is scaled. We prove that this rotation-invariant Hamiltonian problem is QMA_EXP-complete answering an open question of [Gottesman and Irani, 2013]. This characterizes a broad parameter range in which these rotation-invariant Hamiltonians have high computational complexity.

研究动机与目标

• 理解 k-局部阿贝尔哈密顿量（CLHs）基态能量近似复杂度，特别是其与量子 PCP 猜想的关系。
• 研究基于稳定子码的局部可测试量子码（LTCs）的鲁棒性，特别是相互作用图的膨胀如何影响码的稳定性。
• 探索经典 PCP 近似（proximity）的量子类比及其对 LTCs 和 qPCP 猜想的影响。
• 通过分析膨胀、码鲁棒性与哈密顿量近似之间的相互作用，识别对量子 PCP 猜想的根本性限制。

提出的方法

• 分析相互作用图中具有接近最优的小集合膨胀 ε 的 CLHs 的近似复杂度，证明该问题在 O(ε) 范围内属于 NP。
• 利用相互作用图上的递归结构（通过 Γ(t)(u) 集）来限制误差权重，并推导出模稳定子群的误差权重下界。
• 应用切尔诺夫（Chernoff）和霍夫丁（Hoeffding）不等式来控制误差权重分布，表明以高概率，模稳定子群的误差权重集中在 p|S| 附近。
• 结合经典稳定子码鲁棒性边界与量子特异性结果，推导出量子 LTCs 鲁棒性的通用上界。
• 提出量子 PCP 近似（proximity）的框架，借鉴经典 PCPP 的类比，表明量子 LTCs 可由此类构造诱导。
• 运用 C*-代数与膨胀图论技术，分析 CLH 基态中的纠缠与非局域性。

实验结果

研究问题

• RQ1 CLH 实例中相互作用图的小集合膨胀如何影响其基态能量近似复杂度？
• RQ2 相互作用图的膨胀在多大程度上决定了从 CLHs 衍生的稳定子码的鲁棒性？
• RQ3 能否构造出量子 PCP 近似（proximity），它们与量子 LTCs 的存在性及参数有何关系？
• RQ4 膨胀对量子 PCP 猜想施加的根本性限制是什么，特别是在 CLHs 与量子码的背景下？

主要发现

• 若 CLH 实例的相互作用图具有接近最优的小集合膨胀 ε，则在 O(ε) 范围内近似其基态能量属于 NP。
• 量子 LTCs 的鲁棒性受一个随膨胀改善而减小的函数所限制，表明高膨胀图产生鲁棒性较低的码。
• 对于任意具有任意相互作用图的 CLH，其对应量子 LTC 的鲁棒性由依赖于图膨胀特性的函数所上界。
• 本文证明，模稳定子群的误差权重以高概率集中在 p|S| 附近，从而支持鲁棒性分析。
• 特定误差的鲁棒性受 r ≤ α(1 − γgap) 上界限制，其中 γgap 是依赖于码局部性 k 的间隙参数。
• 结果表明，如迪努尔（Dinur）构造所产生的小集合膨胀图，无法用于证明 CLHs 的量子 PCP 定理。