[论文解读] Compact and discrete subgroups of algebraic quantum groups I

Magnus B. Landstad, Alfons Van Daele|ArXiv.org|Feb 15, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 24

一句话总结

本文在代数量子群的框架下引入并研究了紧致量子子群，聚焦于类群投影及其相关的 ∗-子代数。研究证明，代数量子群中的左不变 ∗-子代数具有局部单位元，并由共乘法的右腿不变性所刻画，为非交换量子群的对偶性和结构理论奠定了基础。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. Consider the C$^*$-algebra $C_0(G)$ of continuous complex functions on $G$, tending to 0 at infinity. The product in $G$ gives rise to a coproduct $Δ_G$ on the C$^*$-algebra $C_0(G)$. A locally compact {\it quantum} group is a pair $(A,Δ)$ of a C$^*$-algebra $A$ with a coproduct $Δ$ on $A$, satisfying certain conditions. The definition guarantees that the pair $(C_0(G),Δ_G)$ is a locally compact quantum group and that conversely, every locally compact quantum group $(A,Δ)$ is of this form when the underlying C$^*$-algebra $A$ is abelian. Assume now that $G$ is a locally compact group with a compact open subgroup $K$. The algebra of complex functions on $G$ of {\it polynomial type} is a dense multiplier Hopf $^*$-algebra with positive integrals (i.e. an algebraic quantum group}. The characteristic function of $K$ is a group-like projection in this algebraic quantum group. In this paper, we study group-like projections in an arbitrary algebraic quantum group. We find several associated objects that generalize the classical objects associated to a compact open subgroup of a locally compact group.

研究动机与目标

• 通过类群投影在代数量子群中刻画紧致量子子群。
• 在具有正积分的正则乘子霍普夫 ∗-代数中定义并分析左不变 ∗-子代数。
• 证明非平凡左不变 ∗-子代数中存在局部单位元，确保其单位元性质并可嵌入到乘子代数中。
• 阐明共乘法右腿与不变性条件之间的关系，将代数结构与量子群对偶性联系起来。
• 为未来关于完全不连通量子群及局部紧致量子群的推广工作奠定基础。

提出的方法

• 使用具有正右积分的正则乘子霍普夫 ∗-代数来建模代数量子群。
• 将左不变 ∗-子代数 C 定义为满足 Δ(C) 的右腿包含于 C 的子代数，从而确保其在共乘法下的不变性。
• 应用右不变积分 ψ 构造局部单位元 e ∈ C，使得对任意有限集 {a_i} ⊂ A，有 a_i e = a_i。
• 证明 Δ(C) ⊆ M(A ⊗ C)，并利用 ψ 的非退化性，表明满足 xC ⊆ C 的元素 x 必须属于 C。
• 将 Δ(a) 的右腿刻画为满足对所有 b ∈ B，有 ⟨a_{(1)}, b⟩ a_{(2)} ∈ C 的最小子空间 C。
• 通过局部单位元的存在性，证明 A 是一个单位元 C-双模，从而实现 M(C) 到 M(A) 的单射嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数量子群中，什么条件可刻画一个紧致量子子群？
• RQ2 在正则乘子霍普夫 ∗-代数的背景下，如何定义并刻画左不变 ∗-子代数？
• RQ3 共乘法的右腿在决定不变性与代数结构方面起什么作用？
• RQ4 左不变子代数中的局部单位元如何确保单位元性质并兼容乘子代数？
• RQ5 这些构造在何种方式下可推广至完全不连通局部紧致量子群的理论？

主要发现

• 在正则乘子霍普夫 ∗-代数中，非平凡左不变 ∗-子代数 C 具有非退化乘积，并满足 AC = A = CA。
• Δ(C) 的右腿包含于 C 当且仅当 Δ(C) ⊆ M(A ⊗ C) 且 C 具有局部单位元。
• 对 A 中任意有限集 {a_i}，存在 e ∈ C 使得 a_i e = a_i，从而证明 C 中局部单位元的存在性。
• Δ(a) 的右腿是满足对所有 b 属于稠密子空间 B，有 ⟨a_{(1)}, b⟩ a_{(2)} ∈ C 的最小子空间 C。
• 局部单位元的存在性确保 M(C) 可单射嵌入 M(A)，使得 A 成为一个单位元 C-双模。
• 通过线性泛函刻画右腿，并利用 ψ 的非退化性，建立了代数不变性与基于共乘法的不变性条件之间的等价性。