[论文解读] Compact automorphism groups of vertex operator algebras

Chongying Dong, Haisheng Li+1 more|ArXiv.org|Aug 13, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 18

一句话总结

本文建立了紧李群作用与固定点顶点算子代数之间的类施尔-外尔对偶性，表明一个简单顶点算子代数 $V$ 可分解为 $V = \bigoplus_{\lambda} W_\lambda \otimes V_\lambda$，其中 $W_\lambda$ 为 $G$-模的不可约表示，$V_\lambda$ 为 $V^G$-模的不可约表示。此外，本文证明了 $G$ 的闭子群与包含 $V^G$ 的顶点算子子代数之间的伽罗瓦对应关系，将结果推广至紧阿贝尔李群的情形。

ABSTRACT

Let $V$ be a simple vertex operator algebra which admits the continuous, faithful action of a compact Lie group $G$ of automorphisms. We establish a Schur-Weyl type duality between the unitary, irreducible modules for $G$ and the irreducible modules for $V^G$ which are contained in $V$ where $V^G$ is the space of $G$-invariants of $V.$ We also prove a concomitant Galois correspondence between vertex operator subalgebras of $V$ which contain $V^G$ and closed Lie subgroups of $G$ in the case that $G$ is abelian.

研究动机与目标

• 建立紧李群 $G$ 对简单顶点算子代数 $V$ 的连续作用与固定点子代数 $V^G$ 之间的类施尔-外尔对偶性。
• 将 $G$ 的子群与包含 $V^G$ 的 $V$ 的顶点算子子代数之间的伽罗瓦对应关系推广至紧阿贝尔李群的情形。
• 将此前关于有限可解群的结果推广至连续紧群作用，包括通过导子实现的无穷小情形。
• 证明 $V^G$ 是一个简单顶点算子代数，且对不同的 $\lambda$，不可约 $V^G$-模 $V_\lambda$ 互不等价。

提出的方法

• 通过导子 $D = \frac{d}{dt} \otimes 1 + 1 \otimes L(-1)$ 从 $V$ 构造一个 ${\mathbb{Z}}$-分次李代数 $\hat{V}$，该代数编码了顶点算子代数的结构。
• 利用紧李群的表示理论，将 $V$ 分解为 $G$-模 $W_\lambda$ 与 $V^G$-模 $V_\lambda$ 的直和，从而建立对偶性 $V = \bigoplus_{\lambda} W_\lambda \otimes V_\lambda$。
• 应用豪（Howe）对偶思想并将其适配于顶点算子代数，以在有限维情形下证明施尔-外尔对偶性。
• 将顶点算子代数的导子定义为保持次数的线性映射，满足 $[D, Y(u,z)] = Y(Du,z)$，并证明导子李代数在 $V$ 上的作用产生最高权模。
• 证明半单李代数导子的最高权向量空间 $V_\lambda$ 构成 $V^{{\mathfrak{g}}}$ 的不可约模，从而导出无穷小对偶定理。
• 利用庞特里亚金对偶性及紧阿贝尔李群 $G \cong A \times T^n$ 的结构，证明闭子群与包含 $V^G$ 的子代数 $V^H$ 之间存在双射对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧李群 $G$ 对简单顶点算子代数 $V$ 的作用如何导致 $G$-模与 $V^G$-模之间的对偶性？
• RQ2 是否可以在 $G$ 的闭李子群与包含 $V^G$ 的 $V$ 的顶点算子子代数之间建立伽罗瓦对应？
• RQ3 在连续紧群作用下，固定点代数 $V^G$ 的结构如何？它是否为简单代数？
• RQ4 当 $G$ 被替换为 $V$ 的半单李代数导子时，对偶性的无穷小版本如何表现？
• RQ5 对于非可解紧群，分解 $V = \bigoplus_{\lambda} W_\lambda \otimes V_\lambda$ 是否仍然成立？这对量子伽罗瓦理论有何含义？

主要发现

• 对于任意作用于简单顶点算子代数 $V$ 的紧李群 $G$，分解 $V = \bigoplus_{\lambda \in I} W_\lambda \otimes V_\lambda$ 成立，其中 $W_\lambda$ 为不可约 $G$-模，$V_\lambda$ 为不可约 $V^G$-模。
• $V_\lambda$ 对于不同的 $\lambda$ 是互不等价的 $V^G$-模，且每个 $V_\lambda$ 均为非零不可约 $V^G$-模。
• 固定点代数 $V^G$ 是一个简单顶点算子代数，因为它对应于平凡 $G$-模 $W_1$。
• 对于 $V$ 的半单李代数 $\mathfrak{g}$ 导子，最高权向量空间 $V_\lambda$ 构成不可约 $V^\mathfrak{g}$-模，且有 $V = \bigoplus_{\lambda \in P} L(\lambda) \otimes V_\lambda$。
• 伽罗瓦对应成立：$G$ 的闭李子群 $H$ 与包含 $V^G$ 的 $V$ 的顶点算子子代数之间存在双射，映射为 $H \mapsto V^H$。
• 当 $G = S^1$ 时，$V$ 中包含 $V^{S^1}$ 的顶点算子子代数恰好为 $V^F$，其中 $F \subset S^1$ 为有限循环子群，体现了 fc（闭=有限）拓扑。