[论文解读] Compact Closed Bicategories

Michael Stay|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 43被引用 81

一句话总结

本文提出了紧闭双范畴的直接定义——即对称张量双范畴，其中每个对象都有弱对偶，通常的Zig-Zag恒等式在自然同构意义下成立，并满足一个相干性公理。主要贡献在于证明：在具有有限积和弱下拉的范畴中，其上所有跨度构成的双范畴是紧闭的，这表明集合上的跨度和某些电阻网络双范畴也是紧闭的。

ABSTRACT

A compact closed bicategory is a symmetric monoidal bicategory where every object is equipped with a weak dual. The unit and counit satisfy the usual "zig-zag" identities of a compact closed category only up to natural isomorphism, and the isomorphism is subject to a coherence law. We give several examples of compact closed bicategories, then review previous work. In particular, Day and Street defined compact closed bicategories indirectly via Gray monoids and then appealed to a coherence theorem to extend the concept to bicategories; we restate the definition directly. We prove that given a 2-category T with finite products and weak pullbacks, the bicategory of objects of C, spans, and isomorphism classes of maps of spans is compact closed. As corollaries, the bicategory of spans of sets and certain bicategories of "resistor networks" are compact closed.

研究动机与目标

• 提供紧闭双范畴的直接、自包含定义，避免依赖通过Gray单群间接构造的方法。
• 阐明在双范畴层次上弱对偶性背景下，对偶与自然同构的相干性公理。
• 建立紧闭双范畴的基础示例，特别是源于跨度和函子双范畴的那些。
• 证明在具有有限积和弱下拉的范畴中，其跨度双范畴是紧闭的，从而推广已知结果。
• 展示该结果可推出重要结构（如集合上的跨度和电阻网络双范畴）的紧闭性。

提出的方法

• 引入紧闭双范畴的直接定义，明确弱对偶、左/右单位同构、结合子以及燕尾相干性条件的作用。
• 以具有有限积和弱下拉的范畴T的双范畴Span(T)为核心构造，其中对象为T的对象，1-态射为跨度，2-态射为跨度的映射。
• 证明跨度的复合仅在自然同构意义下满足结合律与单位律，这是由于弱下拉结构所致。
• 应用双范畴的相干性定理，验证Span(T)中满足燕尾恒等式，从而确保双范畴满足所需的相干性公理。
• 通过乘积结构构造Span(T)中的对偶性，验证Zig-Zag同构在相干性意义下成立。
• 利用对偶性将主结果应用于Cospan(ResNet)和Circ，证明其紧闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖通过Gray单群间接构造的前提下，直接定义紧闭双范畴？
• RQ2 在对称张量双范畴中，为确保弱对偶满足Zig-Zag恒等式（模同构），需要哪些相干性公理？
• RQ3 在何种条件下，范畴T中的跨度双范畴是紧闭的？
• RQ4 能否从一个一般定理推导出集合跨度和电阻网络双范畴的紧闭性？
• RQ5 弱下拉在确保跨度双范畴中复合与对偶的相干性中起什么作用？

主要发现

• 具有有限积和弱下拉的范畴T中的跨度双范畴Span(T)是紧闭的，其证明基于燕尾相干性公理。
• 该结果表明集合上的跨度双范畴是紧闭的，为已知的民间结果提供了形式化证明。
• 电阻网络的余跨度双范畴Cospan(ResNet)是紧闭的，这是由于在对偶范畴中余跨度与跨度之间存在对偶关系。
• 电阻网络中无边的子范畴Circ是紧闭的，因为其所有对象都是自对偶的。
• 该证明依赖于验证燕尾相干性公理中复合同构简化为恒等同构，这是由于T中三角律的作用。
• 该构造提供了紧闭双范畴的直接且自包含的定义，解决了以往通过Gray单群间接定义所存在的歧义。