[论文解读] Compact Finite Difference Scheme with Hermite Interpolation for Pricing American Put Options Based on Regime Switching Model

Chinonso Nwankwo, Weizhong Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 52被引用 5

一句话总结

本文提出一种结合埃尔米特插值的紧凑型有限差分格式，用于求解状态转移模型下美式看跌期权的自由边界问题。通过将自由边界转化为固定区间，并推导出资产-德尔塔-伽马-速度方程，该方法实现了高阶精度与快速计算，在效率和精度上优于现有数值方法。

ABSTRACT

We consider a system of coupled free boundary problems for pricing American put options with regime-switching. To solve this system, we first employ the logarithmic transformation to map the free boundary for each regime to multi-fixed intervals and then eliminate the first-order derivative in the transformed model by taking derivatives to obtain a system of partial differential equations which we call the asset-delta-gamma-speed equations. As such, the fourth-order compact finite difference scheme can be used for solving this system. The influence of other asset, delta, gamma, and speed options in the present regime is estimated based on Hermite interpolations. Finally, the numerical method is tested with several examples. Our results show that the scheme provides an accurate solution that is fast in computation as compared with other existing numerical methods.

研究动机与目标

• 为解决在状态转移动态下美式看跌期权定价的计算挑战，该问题涉及多个自由边界和耦合的偏微分方程。
• 通过微分消除变换后模型中的首阶导数项，从而能够使用四阶紧凑有限差分格式。
• 通过引入埃尔米特插值以估计不同状态之间其他期权希腊值（德尔塔、伽马、速度）的影响，提升数值效率与精度。
• 开发一种鲁棒且快速的数值方法，其在求解耦合的自由边界问题系统方面优于现有格式。

提出的方法

• 对资产价格应用对数变换，将每个状态的自由边界映射为固定区间，简化边界条件的处理。
• 对变换后的模型进行微分，消除首阶导数项，得到一组称为资产-德尔塔-伽马-速度方程的偏微分方程组。
• 实施四阶紧凑有限差分格式，以实现高空间精度求解所得方程组。
• 使用埃尔米特插值估计资产、德尔塔、伽马和速度在不同状态间转换时的影响，确保在状态转换处实现平滑且精确的插值。
• 构建一种数值算法，通过迭代求解系统，并基于计算出的期权价值动态更新提前行权边界。
• 通过多个测试案例验证该格式，以展示其收敛性、稳定性及计算速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将状态转移模型下美式看跌期权的自由边界问题转化为适合高阶有限差分格式的固定边界PDE系统？
• RQ2 在多状态期权定价背景下，引入埃尔米特插值对数值解的精度与稳定性有何影响？
• RQ3 能否有效将四阶精度的紧凑有限差分格式应用于从状态转移模型中推导出的资产-德尔塔-伽马-速度方程？
• RQ4 与现有数值方法相比，该方法在计算速度和精度方面在状态转移模型下的美式期权定价中表现如何？
• RQ5 在不同模型参数和波动率状态设置下，该格式的收敛行为与鲁棒性如何？

主要发现

• 所提出的结合埃尔米特插值的紧凑有限差分格式实现了四阶空间精度，显著提升了相较于低阶方法的解的精度。
• 该方法表现出快速的计算速度，在计算效率方面优于现有数值格式。
• 埃尔米特插值有效捕捉了德尔塔、伽马和速度在不同状态间的依赖关系，提升了在状态转换处数值解的准确性。
• 数值实验结果证实，该格式在不同参数设置下（包括不同波动率状态和行权价）均表现出良好的稳定性和收敛性。
• 变换与微分方法成功消除了首阶导数项，使得高阶紧凑格式得以应用。
• 该方法能够准确检测提前行权边界，这对于在状态转移环境下正确评估美式期权价值至关重要。