[论文解读] Compact groups all elements of which are almost right Engel

E. I. Khukhro, Pavel Shumyatsky|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文证明，在任意紧致豪斯多夫群中，若每个元素都是几乎右 Engel 的——即重复的右换位子最终进入一个有限集合——则存在一个有限正规子群，使得商群是局部幂零的。其主要贡献在于对这类紧致群进行了结构分类，推广了关于几乎左 Engel 元素的早期结果，并在 Engel 深度集大小一致有界时建立了定量界限。

ABSTRACT

We say that an element $g$ of a group $G$ is almost right Engel if there is a finite set ${\mathscr R}(g)$ such that for every $x\in G$ all sufficiently long commutators $[...[[g,x],x],\dots ,x]$ belong to ${\mathscr R}(g)$, that is, for every $x\in G$ there is a positive integer $n(x,g)$ such that $[...[[g,x],x],\dots ,x]\in {\mathscr R}(g)$ if $x$ is repeated at least $n(x,g)$ times. Thus, $g$ is a right Engel element precisely when we can choose ${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$. We prove that if all elements of a compact (Hausdorff) group $G$ are almost right Engel, then $G$ has a finite normal subgroup $N$ such that $G/N$ is locally nilpotent. If in addition there is a uniform bound $|{\mathscr R}(g)|\leq m$ for the orders of the corresponding sets, then the subgroup $N$ can be chosen of order bounded in terms of $m$. The proofs use the Wilson--Zelmanov theorem saying that Engel profinite groups are locally nilpotent and previous results of the authors about compact groups all elements of which are almost left Engel.

研究动机与目标

• 对所有元素均为几乎右 Engel 的紧致群进行分类，推广关于几乎左 Engel 元素的先前结果。
• 在几乎右 Engel 条件下，证明存在一个有限正规子群，使得商群是局部幂零的。
• 当所有群元素的右 Engel 深度集大小一致有界时，提供该有限正规子群阶的定量界限。

提出的方法

• 以威尔逊–泽尔曼诺夫定理（关于投影 Engel 群是局部幂零的）作为基础工具。
• 通过逆极限结构和投影群论，将问题约化为有限群。
• 应用紧致群的结构定理，将投影群的结果推广到一般紧致群。
• 利用极小 Engel 深度集及其共轭性质，控制群在有限商群上的作用。
• 运用马什克定理及 $p$-群的性质，分析商群上的自同构作用。
• 采用逆极限论证，将有限群的结果推广到紧致群情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个所有元素均为几乎右 Engel 的紧致群是否必然存在一个有限正规子群，使得商群是局部幂零的？
• RQ2 当右 Engel 深度集大小一致有界时，该有限正规子群的阶是否可用其最大大小 $m$ 表示？
• RQ3 在紧致群中，几乎右 Engel 与几乎左 Engel 元素之间是否存在结构联系？若有，其含义是什么？
• RQ4 有限群中 Engel 深度集的性质如何推广到投影群与紧致群？
• RQ5 在该背景下，$p$-群与弗拉蒂尼商群在控制元素对有限商群作用时起什么作用？

主要发现

• 每个所有元素均为几乎右 Engel 的紧致群 $G$，都存在一个有限正规子群 $N$，使得商群 $G/N$ 是局部幂零的。
• 若对所有 $g \in G$，右 Engel 深度集 ${\mathscr{R}}(g)$ 的大小一致有界于 $m$，则可选取有限正规子群 $N$，其阶在 $m$ 的函数范围内有界。
• 该结果表明，此类紧致群是有限群与局部幂零群的扩张，推广了由几乎左 Engel 元素已知的有限群与幂零群的结构。
• 此类群中所有元素也具有有限的左 Engel 深度集，因此该群满足作者先前关于几乎左 Engel 元素结果的条件。
• 证明使用了逆极限技巧和紧致群的结构定理，将问题约化为有限群与投影群的情形。
• 当对所有 $g$ 有 $|{\mathscr{R}}(g)| \leq m$ 时，任意有限生成子群 $H$ 的幂零剩余 $\gamma_\infty(H)$ 是阶为 $m$-有界的有限群。