[论文解读] Compact groups and their representations

A. A. Kirillov, Alexander Kirillov|ArXiv.org|Jun 7, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文全面概述了紧致李群的结构与表示理论，强调其约化分解、复化以及通过最高权理论的分类。文中建立了基础性结果，如威尔 character 公式，以及极大环面和根系在计算 character 与重数中的作用。

ABSTRACT

This is an overview article on compact Lie groups and their representations, written for the Encyclopedia of Mathematical Physics to be published by Elsevier.

研究动机与目标

• 使用李代数分解与拓扑不变量系统化连通紧致李群的结构理论。
• 确立紧致李群复化存在的唯一性，并阐明其在表示理论中的作用。
• 通过最高权理论与根系数据对有限维不可约表示进行分类。
• 提供计算工具——如威尔 character 公式与科斯塔nt的分拆函数——以计算 character、维数及权的重数。
• 通过旗流形与线丛将紧致群的表示理论与代数几何联系起来。

提出的方法

• 将紧致群的李代数分解为一个交换理想与一个半单导出代数的直和，从而导出全局群结构 $ G = (A \times K)/Z $。
• 利用卡京型的负半定性证明紧致群的李代数是约化的。
• 构造紧致李群 $ G $ 的复化 $ G_{\mathbb{C}} $，证明其为复李群且满足 $ \operatorname{Lie}(G_{\mathbb{C}}) = \mathfrak{g}_{\mathbb{C}} $，并证明 $ G \subset G_{\mathbb{C}} $ 是同伦等价。
• 应用威尔 character 公式 $ \chi_{L_{\lambda}} = \frac{A_{\lambda + \rho}}{A_{\rho}} $，其中 $ A_{\mu} = \sum_{w \in W} \varepsilon(w) e^{w(\mu)} $，以从最高权计算 character。
• 利用科斯塔nt的分拆函数 $ K(\tau) $ 通过公式 $ \operatorname{mult}_{L(\lambda)}\mu = \sum_{w \in W} \varepsilon(w) K(w(\lambda + \rho) - \rho - \mu) $ 计算权的重数。
• 应用利特尔伍德–理查森法则与杨表，对 $ \mathrm{U}(n) $ 中张量积重数进行显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从极大环面与基本可约半单分量的角度分解连通紧致李群的结构？
• RQ2 确保紧致李群复化存在且唯一的条件是什么？
• RQ3 如何利用最高权与根系对紧致李群的不可约表示进行分类？
• RQ4 威尔 character 公式的精确形式是什么？它如何导出维数公式与权重数计算？
• RQ5 如何算法化地计算不可约表示中张量积的重数，特别是在经典群中？

主要发现

• 每个连通紧致李群 $ G $ 均存在唯一分解 $ G = (A \times K)/Z $，其中 $ A $ 为环面，$ K $ 为基本可约半单群，$ Z $ 为有限中心子群。
• 紧致李群 $ G $ 的复化 $ G_{\mathbb{C}} $ 唯一存在，且满足 $ \pi_1(G) \simeq \pi_1(G_{\mathbb{C}}) $，同时 $ G_{\mathbb{C}}/G $ 是可缩的。
• 每个有限维表示均唯一地延拓为 $ G_{\mathbb{C}} $ 上的全纯表示，从而将实表示理论与复表示理论联系起来。
• 威尔 character 公式给出 $ \chi_{L_{\lambda}} = \frac{A_{\lambda + \rho}}{A_{\rho}} $，其中 $ A_{\mu} = \sum_{w \in W} \varepsilon(w) e^{w(\mu)} $，实现 character 的精确计算。
• 最高权为 $ \lambda $ 的不可约表示的维数为 $ \dim L(\lambda) = \prod_{\alpha \in R_+} \frac{\langle \alpha^\vee, \lambda + \rho \rangle}{\langle \alpha^\vee, \rho \rangle} $。
• 对于 $ \mathrm{SU}(2) $，最高权为 $ k \cdot \omega $ 的不可约表示维数为 $ k+1 $，其 character 为 $ \chi_{\Pi_k} = \frac{x^{k+1} - x^{-(k+1)}}{x - x^{-1}} $。