[论文解读] Compact Homogeneous Locally Conformally Kaehler Manifolds

Keizo Hasegawa, Yoshinobu Kamishima|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文建立了紧致齐次局部共形凯勒（l.c.K.）流形的两个基本结构定理：第一，它们是纤维为1维复环面的旗流形上的全纯主纤维丛；第二，它们必为Vaisman型，即李形式关于Hermitian度量是平行的。研究结果对半单李群上的l.c.K.结构进行了分类，并表明仅同调型Hopf曲面允许存在紧致复齐次l.c.K.结构，而复平行化流形上则不存在此类结构。

ABSTRACT

In this paper we show as main results two structure theorems of a compact homogeneous locally conformally Kaehler (or shortly l.c.K.) manifold, a holomorphic structure theorem asserting that it has a structure of holomorphic principal fiber bundle over a flag manifold with fiber a 1-dimensional complex torus, and a metric structure theorem asserting that it is necessarily of Vaisman type. We also discuss and determine l.c.K. reductive Lie groups and compact locally homogeneous l.c.K. manifolds of reductive Lie groups.

研究动机与目标

• 使用全息与度量结构定理对紧致齐次局部共形凯勒（l.c.K.）流形进行分类。
• 证明此类流形必为Vaisman型，即李形式关于Hermitian度量是平行的。
• 确定所有l.c.K.半单李群及半单李群的紧致局部齐次l.c.K.流形。
• 研究紧致复齐次l.c.K.流形的存在性，并证明其不存在，尤其排除复平行化流形的可能性。
• 对紧致李代数上的l.c.K.结构进行分类，表明仅当 dim t = 1 且 rank s = 1 时存在此类结构。

提出的方法

• 本文利用李代数 𝔤 = 𝔟 + 𝔰 的分解，其中 𝔟 为中心，𝔰 为半单部分，分析紧致齐次l.c.K.流形的结构。
• 通过应用Hochschild–Serre谱序列，将l.c.K.形式表示为 Ω = −θ ∧ ψ + dψ，其中 θ 为李形式，ψ 为1-形式。
• 利用与李场 ξ 关联的Reeb场 η = Jξ 及相应的Reeb 1-形式 φ，本文证明在 Jt-不变性条件下，ψ = φ 且 Ω = −θ ∧ φ + dφ。
• 通过在由 Jt 生成的紧致子群 K 上使用平均化方法，构造出保持复结构的 Ad(K)-不变l.c.K.形式。
• 通过限制在 dim 𝔟 = 1 且 rank 𝔰 = 1 的情形，本文对半单李代数上的所有可能l.c.K.结构进行分类，识别出 𝔲(2) 与 ℝ ⊕ 𝔰𝔩(2,ℝ) 为唯一可能。
• 给出了在 𝔲(2) 与 ℝ ⊕ 𝔰𝔩(2,ℝ) 上l.c.K.结构的显式构造，包括在 S¹ × S³ 上的示例，以及在 ℝ × SL(2,ℝ) 上的非Vaisman型结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过其在旗流形上的全息纤维丛结构对紧致齐次l.c.K.流形进行分类？
• RQ2 每个紧致齐次l.c.K.流形是否必然为Vaisman型，即李形式在Hermitian度量下是否保持平行？
• RQ3 半单李代数存在齐次l.c.K.结构的充要条件是什么？
• RQ4 哪些紧致李群或齐次空间允许存在紧致复齐次l.c.K.结构？
• RQ5 在非紧致半单李群的局部齐次流形上，是否存在非Vaisman型l.c.K.结构？

主要发现

• 紧致齐次l.c.K.流形是纤维为1维复环面的旗流形上的全息主纤维丛。
• 所有紧致齐次l.c.K.流形均为Vaisman型，即李形式关于Hermitian度量是平行的。
• 仅同调型Hopf曲面允许存在紧致复齐次l.c.K.结构；复平行化流形上不存在此类结构。
• l.c.K.结构存在于半单李代数上当且仅当 dim 𝔟 = 1 且 rank 𝔰 = 1，且唯一例子为 𝔲(2) 与 ℝ ⊕ 𝔰𝔩(2,ℝ)。
• 非Vaisman型l.c.K.结构存在于非紧致半单李群的局部齐次流形上，例如 ℝ × SL(2,ℝ)，并提供了显式构造。
• 局部齐次l.c.K.流形可构造为 Γ\backslashĜ/H，其中 Γ 是 Ĝ = ℝ × U(2) 的离散子群，通过双全纯等价可得到Hopf曲面 S_{p,q}。