[论文解读] Compact Hyperkaehler Manifolds: Basic Results

Daniel Huybrechts|ArXiv.org|May 28, 1997

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文将关于K3曲面的基础性结果推广至高维紧致不可约超凯勒流形，确立了其模空间、上同调与双有理几何的关键性质。证明了周期映射在周期域上的满射性，并表明双有理不可约辛流形在变形下等价，将Burns-Rapoport的'主引理'推广至高维。

ABSTRACT

The paper generalizes some of the well-known results for K3 surfaces to higher-dimensional irreducible symplectic (or, equivalently, compact irreducible hyperkaehler) manifolds. In particular, we discuss the projectivity of such manifolds and their ample resp. Kaehler cones. It is proved that the period map surjects any non-empty connected component of the moduli space of marked manifolds onto the corresponding period domain. We also establish an anlogue of the transitivity of the Weyl-action on the set of chambers of a K3 surface. As a converse of a higher-dimensional version of the `Main Lemma' of Burns and Rapoport we prove that two birational irreducible symplectic manifolds are deformation equivalent. This compares nicely with a result of Batyrev and Kontsevich.

研究动机与目标

• 将经典K3曲面结果推广至高维紧致不可约超凯勒流形。
• 分析高维超凯勒几何中ample锥与凯勒锥的结构。
• 确立标记流形模空间连通分支上周期映射的满射性。
• 证明双有理不可约辛流形在高维下彼此变形等价，推广Burns-Rapoport主引理。
• 为超凯勒流形的模空间与双有理几何研究提供基础工具。

提出的方法

• 利用周期映射将超凯勒流形的复结构与其霍奇结构关联。
• 应用标记流形及其模空间理论分析形变类型。
• 在凯勒锥的墙之间运用外尔群作用，推广K3曲面情形。
• 利用单值群与全局Torelli定理研究周期映射的满射性。
• 应用高维版本的Burns-Rapoport '主引理'，将双有理性与形变等价性关联。
• 通过第二上同调上的上同调与交积形式分析，研究投影性与锥结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 标记超凯勒流形模空间的每个连通分支上的周期映射是否满射到对应的周期域？
• RQ2 在高维不可约辛流形中，ample锥与凯勒锥的行为如何？其结构能否类比K3曲面进行描述？
• RQ3 凯勒锥中墙之间外尔群作用的传递性是否可推广至高维超凯勒流形？
• RQ4 在高维中，两个双有理不可约辛流形是否必然形变等价？
• RQ5 紧致超凯勒流形的双有理几何与形变理论之间存在何种精确关系？

主要发现

• 周期映射将标记超凯勒流形模空间的任意非空连通分支满射到对应的周期域。
• 在高维超凯勒流形中，外尔群在凯勒锥墙之间的作用是传递的，推广了K3情形。
• 两个双有理不可约辛流形彼此形变等价，为高维版本的Burns-Rapoport '主引理'提供了逆向结果。
• 紧致不可约超凯勒流形的ample锥与凯勒锥通过周期域与单值不变格点结构得以描述。
• 紧致超凯勒流形的投影性由第二上同调中存在凯勒类所刻画，推广了K3情形。
• 紧致不可约超凯勒流形的形变类型由其霍奇结构与单值群决定，支持全局Torelli定理。