[论文解读] Compact Sets in Bide - Side Grand Lebesgue Spaces, with Applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|Feb 17, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了双边大勒贝格空间（BSGL）中集合紧致性的充分条件，证明了 $ G^o(\theta) $ 的一个闭有界子集是紧致的，当且仅当它在每个 $ L_p $-空间中（$ p \in (a,b) $）是等度绝对连续且紧致的。所得结果被应用于数值方法和这些函数空间中的基理论。

ABSTRACT

In this article we find some sufficient conditions for the set in the Bilateral Grand Lebesgue Space to be compact set. We consider applications into numerical methods and in the basis problem.

研究动机与目标

• 建立双边大勒贝格空间（BSGL）中子集紧致性的充分条件。
• 研究 $ G^o(\psi) $ 中紧致集的结构，即在区间 $ (a,b) $ 端点处范数趋于零的函数的闭子空间。
• 将紧致性准则应用于数值分析，特别是对称重排的迭代算法收敛性。
• 在底层测度空间满足可分性条件时，证明 $ G^o(\psi) $ 中存在一个施瓦兹基。
• 将 $ L_p $-空间中的结果推广至 BSGL 空间，特别是针对对称重排和梯度估计。

提出的方法

• 通过范数 $ \|f\|_{G(\psi)} = \sup_{p \in (a,b)} |f|_p / \psi(p) $ 定义 BSGL 空间 $ G(\psi) $，其中 $ \psi \in \Psi(a,b) $ 是在 $ (a,b) $ 上正且连续的函数，可能在端点处发散。
• 将子空间 $ G^o(\psi) $ 定义为满足 $ \lim_{\psi(p) \to \infty} |f|_p / \psi(p) = 0 $ 的函数集合，该集合与 $ GA(\psi) $ 和 $ GB(\psi) $ 一致，即具有绝对连续范数的函数空间和具有有限支集的有界函数空间。
• 利用泛函分析中已知的紧致性准则，将 $ G^o(\psi) $ 中的紧致性等价于等度绝对连续性以及所有 $ p \in (a,b) $ 的 $ L_p $-空间中的紧致性。
• 应用对称（球对称）重排理论，特别是 van Schaftingen 的极化算法，以证明在 $ G(\psi) $-范数下的收敛性。
• 证明重排算子在 $ G(\psi) $ 中保持范数并具有压缩性质，即 $ \|u^*\|_{G(\psi)} = \|u\|_{G(\psi)} $ 且 $ \|u^* - v^*\|_{G(\psi)} \leq \|u - v\|_{G(\psi)} $。
• 证明若 $ u \in G^o(\psi) $，则由极化算法生成的序列 $ \{u_n\} $ 在 $ G^o(\psi) $-范数下收敛于 $ u^* $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$ G^o(\psi) $ 的闭有界子集在 BSGL 范数下是紧致的？
• RQ2 在 $ G^o(\psi) $ 中集合的紧致性如何与它在每个 $ p \in (a,b) $ 的 $ L_p $-空间中的紧致性相关？
• RQ3 对称重排的极化算法收敛性是否可从 $ L_p $ 扩展至 BSGL 空间？
• RQ4 等度绝对连续性在 $ G^o(\psi) $ 中集合紧致性中起什么作用？
• RQ5 在测度空间满足可分性假设时，空间 $ G^o(\psi) $ 是否存在一个施瓦兹基？

主要发现

• 一个闭有界子集 $ S \subset G^o(\psi) $ 是紧致的，当且仅当它在每个 $ L_p $-空间中（$ p \in (a,b) $）是等度绝对连续且紧致的。
• 对称重排算子保持 $ G(\psi) $-范数：对所有 $ \psi \in \Psi(a,b) $，有 $ \|u^*\|_{G(\psi)} = \|u\|_{G(\psi)} $。
• 重排算子在 $ G(\psi) $ 中是压缩算子：$ \|u^* - v^*\|_{G(\psi)} \leq \|u - v\|_{G(\psi)} $。
• 对于 $ u \in G(\psi) $，若 $ \nu \ll \psi $（即 $ \lim_{\psi(p) \to \infty} \nu(p)/\psi(p) = 0 $），则极化算法在 $ G(\nu) $-范数下收敛于 $ u^* $。
• 若 $ u \in G^o(\psi) $，则由极化算法生成的序列 $ \{u_n\} $ 在 $ G^o(\psi) $-范数下收敛于 $ u^* $。
• 在测度空间可分的条件下，空间 $ G^o(\psi) $ 允许存在一个施瓦兹基，例如由变形的哈尓函数构成的基。