[论文解读] Compactification of Drinfeld modular varieties and Drinfeld Modular Forms of Arbitrary Rank

Richard Pink|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 1

一句话总结

本文通过构造德林费尔德模形式模空间的萨塔克紧化，建立了一个适用于任意秩的函子性、代数几何框架。该紧化被定义为一个正规、射影代数簇，模形式被定义为自然延拓的正则线丛幂的全局截面，证明了紧化的存在性与唯一性，并展示了其与Hecke算子及自然态射的相容性。核心贡献在于通过紧化与线丛延拓，系统且内在地刻画了所有秩与水平结构下的模形式。

ABSTRACT

We give an abstract characterization of the Satake compactification of a general Drinfeld modular variety. We prove that it exists and is unique up to unique isomorphism, though we do not give an explicit stratification by Drinfeld modular varieties of smaller rank which is also expected. We construct a natural ample invertible sheaf on it, such that the global sections of its $k$-th power form the space of (algebraic) Drinfeld modular forms of weight $k$. We show how the Satake compactification and modular forms behave under all natural morphisms between Drinfeld modular varieties; in particular we define Hecke operators. We give explicit results in some special cases.

研究动机与目标

• 通过紧化提供一种适用于任意秩的德林费尔德模形式的一般性、代数几何定义。
• 确立德林费尔德模形式模空间的萨塔克紧化作为正规、射影代数簇的存在性与唯一性。
• 在紧化空间上，通过自然延拓的正则可逆层的幂的全局截面来定义模形式。
• 确保该构造在所有自然态射（包括Hecke算子）下保持相容性，适用于不同模形式空间之间。
• 将理论推广至秩大于二的情形，并为未来工作中的解析-几何对应关系奠定基础。

提出的方法

• 将萨塔克紧化公理化为一个包含原模形式空间作为稠密开子簇的正规、整的、完备代数簇。
• 通过将普遍德林费尔德模延拓为紧化空间上的弱分离广义德林费尔德模来定义紧化。
• 将典范正则可逆层 L 构造为延拓普遍族的相对李代数的对偶。
• 将权为 k 的模形式定义为全局截面 H⁰(M, Lᵏ)，并利用紧性保证其有限维性。
• 证明紧化在唯一同构意义下唯一，且为射影的。
• 当普遍族不存在时（特别是小水平结构情形），应用商与不变量构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 德林费尔德模形式模空间在任意秩下是否存在一个典范的萨塔克紧化？其是否唯一？
• RQ2 能否通过紧化上延拓线丛的全局截面，代数地定义任意整权的模形式？
• RQ3 在此代数几何框架下，Hecke算子如何作用于德林费尔德模形式？
• RQ4 该构造能否在所有德林费尔德模形式空间之间的自然态射下保持函子性？
• RQ5 对于特定水平结构（如 Fq[t] 上的水平结构 (t)），模形式环的结构如何？

主要发现

• 德林费尔德模形式模空间在秩 r 下的萨塔克紧化存在，唯一（在唯一同构意义下），且为射影的。
• 权为 k 的模形式空间同构于 H⁰(M, Lᵏ)，其中 L 为延拓普遍德林费尔德模的相对李代数的对偶。
• 当 A = Fq[t] 且水平结构为 (t) 时，萨塔克紧化 Mr 同构于射影空间 Pr−1_F。
• 模形式环 R(Mr) 同构于 Rr ⊗Fq F，是科恩-麦克aul伊环，且 Mk(Mr) 的维数公式涉及二元序列的求和。
• 在正规点集上，典范层满足 Lr_Mr|Mr,reg ≅ ω(2·∂Mr)，将权为 r 的模形式与边界处具有二阶极点的微分联系起来。
• 对于满足 K(t) ⊂ K ⊂ K₁(t) 的水平结构 K，导出了 Mk(Mr_Fq[t],K) 的维数公式，涉及群商与二项式系数。