[论文解读] Compactification of the Bruhat-Tits building of PGL by lattices of smaller rank

Annette Werner|ArXiv.org|Apr 3, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 13

一句话总结

该论文通过将所有非平凡子空间 W ⊂ V 的 PGL(W) 的 Bruhat-Tits 建筑物作为边界，构建了 PGL(V) 的 Bruhat-Tits 建筑物的新紧化。该构造通过紧化单体与紧化余单体的积的商实现，得到一个紧致、可缩的 G-空间，其顶点与 V 中任意秩的 R-格的位似类一一对应。

ABSTRACT

We construct a compactification of the Bruhat-Tits building associated to the group PGL(V) by attaching all the Bruhat-Tits buildings of PGL(W) for non-trivial subspaces W of V as a boundary.

研究动机与目标

• 构建 PGL(V) 的 Bruhat-Tits 建筑物的新紧化，使其超越全秩格的范围。
• 通过基于格的边界结构，将 Mumford 的 p-进 Schottky 一致化推广到高维。
• 提供一种与 Borel-Serre 和 Landvogt 的构造不同的几何紧化，具有明确定义的拓扑与群论性质。
• 建立紧化空间中顶点与 V 中任意正秩 R-格的位似类之间的典范对应关系。

提出的方法

• 通过附加来自 T 的商的低维余单体，紧化与极大环面 T 相关的单体 Λ。
• 在紧化单体上定义连续的 N-作用，其中 N 是 T 的正规化子。
• 将全局紧化 X̄ 构造为 U₀^∧ × Λ̄ 的商，等价关系为 (g,x) ~ (h,y) 当且仅当存在 n ∈ N 使得 nx = y 且 g⁻¹hn ∈ Pₓ。
• 为每个点 x ∈ X̄ 定义稳定子群 Pₓ ⊆ G，并证明这些群的混合 Bruhat 分解。
• 利用子空间与格基之间的同构，为每个 PGL(W) 建筑物定义从 X̄ 中进入 X̄ 的良好定义的映射 j_W。
• 证明所有此类 j_W 的并集给出了从所有建筑的不相交并到 X̄ 的 G-等变、连续、满射且单射的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 V 中更小秩的格来紧化 PGL(V) 的 Bruhat-Tits 建筑物？
• RQ2 包含所有非零子空间 W ⊂ V 的 PGL(W) 建筑物的紧化，其拓扑与群论结构如何？
• RQ3 与 Borel-Serre 和 Landvogt 的紧化相比，该紧化在边界行为及射线与直线的收敛性方面有何不同？
• RQ4 能否将紧化空间的顶点典范地与 V 中任意正秩 R-格的位似类对应起来？
• RQ5 是否存在一个自然的 G-作用在紧化上，使其扩展原始建筑上的作用？

主要发现

• 紧化空间 X̄ 作为拓扑空间是紧致且可缩的。
• X̄ 携带一个连续的、G-等变的作用，该作用扩展了原始建筑 X 上的自然作用。
• 原始建筑 X 作为 X̄ 中的开稠密子集嵌入。
• X̄ 的顶点与 V 中任意正秩 R-格的位似类的集合之间存在 G-等变双射。
• 紧化 X̄ 同胚于所有非零子空间 W ⊂ V 的 PGL(W) 建筑物 X(PGL(W)) 的不相交并。
• 该构造为稳定子群 Pₓ 产生了混合 Bruhat 分解，这对商构造至关重要。