[论文解读] Compactifications of smooth families and of moduli spaces of polarized manifolds

Eckart Viehweg|ArXiv.org|May 3, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文构建了极化流形模空间的射影紧化，其 Hilbert 多项式为 $h$，将高阶 pluricanonical 层的行列式扩展为紧化空间上关于开集的拟正且充分正的线丛。利用弱半稳定化简、Multiplier 理想平坦化及基变换定理，证明了这些扩展与拉回兼容并保持正性，从而使得在典范极化或极小 Calabi-Yau 类型流形族的紧化模空间上可自然构造出充分正线丛。

ABSTRACT

Let M be the moduli scheme of canonically polarized manifolds with Hilbert polynomial h. We construct for a given finite set I of natural numbers m>1 with h(m)>0 a projective compactification M' of the reduced scheme underlying M such that the ample invertible sheaf L corresponding to the determinant of the direct image of the m-th power of the relative dualizing sheaf on the moduli stack, has a natural extension L' to M'. A similar result is shown for moduli of polarized minimal models of Kodaira dimension zero. In both cases "natural" means that the pullback of L' to a curve C --> M', induced by a family f:X --> C is isomorphic to the determinant of the direct image of the m-th power of the relative dualizing sheaf whenever f is birational to a semi-stable family. Besides of the weak semistable reduction of Abramovich-Karu and the extension theorem of Gabber there are new tools, hopefully of interest by itself. In particular we will need a theorem on the flattening of multiplier sheaves in families, on their compatibility with pullbacks and on base change for their direct images, twisted by certain semiample sheaves. Following suggestions of a referee, we reorganized the article, we added several comments explaining the main line of the proof, and we changed notations a little bit.

研究动机与目标

• 构建典范极化流形模空间的射影紧化 $\overline{M}_h$，其 Hilbert 多项式为 $h$，且为 $(M_h)_{\rm red}$ 的简化模空间。
• 将行列式线丛 $\lambda_\nu = \det(f_* \omega_{X_0/Y_0}^\nu)$ 扩展为 $\operatorname{Pic}(\overline{M}_h)_{\mathbb{Q}}$ 中关于开集的拟正且充分正的类 $\overline{\lambda}_\nu$。
• 确保该扩展在有限覆盖及半稳定模型下的拉回兼容性，尤其针对曲线上的族。
• 将该构造推广至 Kodaira 维数为零的极化极小模型模空间，使用类似技术。

提出的方法

• 利用 Abramovich-Karu 的弱半稳定化简定理，通过有限覆盖解决族中的奇点。
• 应用 Gabber 的扩展定理，将相干层跨紧化中的除子扩展。
• 提出一种新的 multiplier 理想层在基变换与拉回下的平坦化定理，确保其与直接像函子兼容。
• 采用线丛与 multiplier 理想的饱和技术，稳定族之间的构造。
• 利用 multiplier 理想与纤维积及变换的兼容性，控制紧化中的奇点。
• 应用涉及半正扭的扭曲层直接像的基变换定理，尤其关注其平坦性与相干性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造典范极化流形模空间的射影紧化，使得 $\nu$ 阶 pluricanonical 层的行列式在紧化上扩展为关于开集的拟正且充分正的类？
• RQ2 如何使 $\lambda_\nu$ 的扩展与有限覆盖及半稳定模型下的拉回兼容，尤其在曲线上？
• RQ3 在 $\nu \geq 2$ 时，何种条件可确保扩展线丛 $\overline{\lambda}_\nu$ 关于开集充分正？
• RQ4 该构造能否推广至 Kodaira 维数为零的极化极小模型，同时保持正性与兼容性？
• RQ5 Multiplier 理想及其平坦化在控制紧化过程中的奇点以及在基变换下保持兼容性方面起何作用？

主要发现

• 本文构建了简化模空间 $(M_h)_{\rm red}$ 的射影紧化 $\overline{M}_h$，使得线丛 $\overline{\lambda}_\nu$ 在 $\operatorname{Pic}(\overline{M}_h)_{\mathbb{Q}}$ 中自然扩展。
• 证明了扩展 $\overline{\lambda}_\nu$ 为拟正，且在低阶线丛的充分正假设下，当 $\nu \geq 2$ 时关于开集充分正。
• 对于曲线上的族，将 $\overline{\lambda}_\nu$ 拉回到半稳定模型时，可恢复为 canonical 层的行列式，确保兼容性。
• 建立了关于 multiplier 理想层的新平坦化定理，表明其在有限覆盖下与基变换及拉回兼容。
• 该构造依赖于弱半稳定化简的变体与 multiplier 理想的饱和技术，从而控制紧化中的奇点。
• 关键技术结果为：经适当扭后，$\det({\mathcal{F}}_Y^{(\epsilon,1)})$ 关于开集变得充分正，从而推出当 $\nu \geq 2$ 时 $\overline{\lambda}_\nu$ 的充分正性。