[论文解读] Compactifications of topological groups

Vladimir Uspenskij|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 35

一句话总结

本文引入並分析了拓撲群的自然緊化——具體而言是最大極小空間 S(G)、Roelcke 緊化 R(G) 和弱幾乎週期緊化 W(G)，並展示了它們在表征群性質（如最小性與極端可約性）中的作用。一個關鍵結果是，通用波蘭群 Is(U₁)，即直徑為 1 的Urysohn 單一度量空間的等距同構群，是極小且 Roelcke-預緊的，從而確立了每個拓撲群均可嵌入至一個極小 Roelcke-預緊群之中。

ABSTRACT

Every topological group $G$ has some natural compactifications which can be a useful tool of studying $G$. We discuss the following constructions: (1) the greatest ambit $S(G)$ is the compactification corresponding to the algebra of all right uniformly continuous bounded functions on $G$; (2) the Roelcke compactification $R(G)$ corresponds to the algebra of functions which are both left and right uniformly continuous; (3) the weakly almost periodic compactification $W(G)$ is the envelopping compact semitopological semigroup of $G$ (`semitopological' means that the multiplication is separately continuous). The universal minimal compact $G$-space $X=M_G$ is characterized by the following properties: (1) $X$ has no proper closed $G$-invariant subsets; (2) for every compact $G$-space $Y$ there exists a $G$-map $X o Y$. A group $G$ is extremely amenable, or has the fixed point on compacta property, if $M_G$ is a singleton. We discuss some results and questions by V. Pestov and E. Glasner on extremely amenable groups. The Roelcke compactifications were used by M. Megrelishvili to prove that $W(G)$ can be a singleton. They can be used to prove that certain groups are minimal. A topological group is minimal if it does not admit a strictly coarser Hausdorff group topology.

研究动机与目标

• 分析拓撲群的自然緊化作為研究群結構與動力系統的工具。
• 表徵通用極小緊化 G-空間 MG 在決定極端可約性中的作用。
• 利用緊化技術研究等距同構群（特別是 Is(U₁)）的最小性與 Roelcke-預緊性。
• 確立每個拓撲群均可嵌入至一個與其相同權重的極小 Roelcke-預緊群中。

提出的方法

• 將最大極小空間 S(G) 建構為 G 上右一致連續有界函數的 C*-代數的極大理想空間。
• 將 Roelcke 緊化 R(G) 定義為均一度量空間 (G, L ∧ R) 的 Samuel 緊化，其中 L 和 R 分別為左與右均一度量。
• 將弱幾乎週期緊化 W(G) 視為 G 的包絡半拓撲半群，其乘法運算分別連續。
• 將 R(G) 與 I^{U₁²} 中的一個緊緻子空間 Θ 進行識別，該子空間參數化由兩個等距同構於 U₁ 的副本覆蓋的直徑為 1 的度量空間。
• 應用 U₁ 的非可分類比，將最小性結果推廣至任意不可數權重的群。
• 利用 R(G) 在關係複合運算下作為有序半群的結構，證明 Is(U₁) 的最小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Roelcke 緊化能否用於表徵拓撲群的最小性？
• RQ2 Urysohn 單一度量空間 U₁ 的等距同構群是否為極小且 Roelcke-預緊？
• RQ3 在何種條件下，弱幾乎週期緊化 W(G) 是單點空間？
• RQ4 所有拓撲群是否均可嵌入至一個與其相同拓撲權重的極小 Roelcke-預緊群中？
• RQ5 是否存在具有不可數權重的通用拓撲群，使其為極小且 Roelcke-預緊？

主要发现

• 通用波蘭群 Is(U₁)，即直徑為 1 的 Urysohn 單一度量空間的等距同構群，是極小的。
• Is(U₁) 的 Roelcke 緊化 R(G) 同胚於 I^{U₁²} 中的一個緊緻子空間 Θ，該子空間參數化由兩個等距同構於 U₁ 的副本覆蓋的直徑為 1 的度量空間。
• 空間 R(G) 在關係複合運算下具有自然的有序半群結構，其序關係由包含關係給出。
• 當且僅當 G 是極端可約時，通用極小緊化 G-空間 MG 是單點空間，此結果由 Pestov 對 Is(U₁) 的研究證實。
• 每個拓撲群 G 均同構於一個相同權重的極小 Roelcke-預緊群的子群，方法是透過嵌入至某個合適的通用度量空間 X 的 Is(X) 中。
• Is(U₁) 本身並非 Roelcke-預緊，但其在直徑為 1 的空間上的限制卻構成一個極小 Roelcke-預緊群。