[论文解读] Compactified Time and likely Entropy -- World Inside Time Machine: Closed Time-like Curve --

H. B. Nielsen, Masao Ninomiya|ArXiv.org|Jan 9, 2006

Neural Networks and Applications参考文献 3被引用 16

一句话总结

本文研究了一个具有紧致化时间的类经典与量子力学宇宙模型，其中时间具有周期 $T$ 的周期性。通过强制实现周期性，作者表明熵并未被最大化，而是跨宏观态平滑分布，导致随时间的平均熵保持恒定——这意味着此类闭合类时曲线（CTC）宇宙无法自然解释热力学第二定律，因为该定律要求熵不断增加。

ABSTRACT

If a macroscopic (random) classical system is put into a random state in phase space, it will of course the most likely have an almost maximal entropy according to second law of thermodynamics. We will show, however, the following theorem: If it is enforced to be periodic with a given period $T$ in advance, the distribution of the entropy for the otherwise random state will be much more smoothed out, and the entropy could be very likely much smaller than the maximal one. Even quantum mechanically we can understand that such a lower than maximal entropy is likely. A corollary turns out to be that the entropy in such closed time-like loop worlds remain constant.

研究动机与目标

• 探讨具有紧致化时间的时间对称模型是否能解释热力学第二定律。
• 研究被强制具有周期 $T$ 的系统中熵的统计分布。
• 确定此类周期性系统是否能支持非最大、恒定的熵，从而与第二定律预测的熵增相矛盾。
• 考察类时间机器结构（闭合类时曲线）对熵和热力学时间箭头的影响。
• 评估时间上的周期性边界条件是否可作为理解热力学不可逆性更深层次基础的依据。

提出的方法

• 该模型在经典或量子力学系统上强制施加固定周期 $T$，将时间视为一个紧致的 $S^1$ 流形。
• 系统的演化由哈密顿量 $H$ 控制，周期性要求 $e^{-iTH} = 1$，从而导致能量本征值量化为 $E_n = 2\bar{h}\pi n / T$。
• 宏观态由一组守恒量 $\{I_i\}$ 定义，熵 $S(\{I_i\}) = \log \dim \mathcal{H}_{\{I_i\}}$，其中 $\mathcal{H}_{\{I_i\}}$ 是具有这些量子数的希尔伯特子空间。
• 分析表明，仅当 $I_1^\prime = 2\pi n / T$ 时，宏观态才满足周期性条件，从而极大地限制了允许的状态。
• 熵通过满足周期性约束的子空间维数的对数计算，导致熵在宏观态之间呈现平滑分布。
• 在量子力学处理中，哈密顿量被视作宏观变量，周期性条件由时间平移算符 $e^{-iTH}$ 导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有紧致化时间的时间对称模型能否自然产生熵增加，正如热力学第二定律所要求的？
• RQ2 在被强制具有固定周期 $T$ 的系统中，熵的统计分布是什么？
• RQ3 在时间上施加周期性是否导致最大熵态被抑制？如果是，原因是什么？
• RQ4 闭合类时曲线（CTC）宇宙是否能在时间上表现出恒定的熵？这对时间箭头意味着什么？
• RQ5 当时间被紧致化时，热力学第二定律是否与时间反演不变的定律相容？

主要发现

• 在强制施加周期性 $T$ 的系统中，熵并未被最大化；相反，它在宏观态之间平滑分布，且对最大熵无偏好。
• 仅当能量本征值满足 $E_n = 2\pi n / T$ 的宏观态才满足周期性条件，这极大地限制了允许的状态。
• 时间平移算符 $e^{-iTH}$ 在允许的状态上作用为单位算符，确认系统在时间 $T$ 后返回初始状态，从而确认了 CTC 结构。
• 熵在时间环上保持近似恒定，无净增加，与第二定律预测的熵增相矛盾。
• 尽管相空间体积 $e^{S}$ 存在巨大差异，熵的概率分布仍在允许的宏观态之间均匀分布，表明具有平滑的统计行为。
• 该模型无法再现热力学第二定律，表明时间反演不变性与观测到的熵增之间存在根本性不相容。