[论文解读] Compactifying String Topology

Kate Poirier, Nathaniel Rounds|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用 12

一句话总结

本论文在紧化后的弦图模空间 $¯{SD}(g,k,\ell)$ 的胞腔链上构造了其在闭合定向黎曼流形 $M$ 的自由循环空间 $LM$ 的奇异链上的链级作用。该作用在同调层面的诱导结果恢复了 Cohen-Godin 正边界拓扑量子场论（TQFT）结构于 $H_*(LM)$，从而通过紧化、胞腔化的黎曼曲面模空间模型，实现了弦拓扑运算的链级实现。

ABSTRACT

We study the string topology of a closed oriented Riemannian manifold M. We describe a compact moduli space of diagrams, and show how the cellular chain complex of this space gives algebraic operations on the singular chains of the free loop space LM of M. These operations are well-defined on the homology of a quotient of this moduli space, which has the homotopy type of a compactification of the moduli space of Riemann surfaces. In particular, our action of the 0-dimensional homology of the quotient space on the homology of the free loop space of M recovers the Cohen-Godin positive boundary TQFT.

研究动机与目标

• 在紧化后的黎曼曲面模空间上构造其在自由循环空间 $LM$ 的奇异链上的链级作用。
• 解决 Sullivan 弦图无法捕捉黎曼曲面模空间完整同伦类型的缺陷。
• 提供一个支持链级弦拓扑运算的胞腔化、紧化模型 $\overline{SD}(g,k,\ell)$。
• 证明商空间 $\overline{SD}/\sim$ 的同调恢复了 $H_*(LM)$ 上的 Cohen-Godin 正边界 TQFT。

提出的方法

• 引入作为 CW 复形的紧化弦图模空间 $\overline{SD}(g,k,\ell)$，推广 Sullivan 弦图。
• 定义一个次数为 $(2 - 2g - k - \ell)d$ 的链映射 $\mathcal{ST}: \mathcal{C}_*(\overline{SD}) \otimes C_*(LM) \to C_*(LM)$。
• 引入一种称为滑移等价的等价关系 $\sim$，以识别产生相同同调运算的图。
• 证明 $\mathcal{ST}$ 是链映射，确保其与边界算子相容。
• 建立一个交换图，表明 $H_0(\overline{SD}/\sim)$ 上的诱导运算与曲面粘合操作可交换。
• 利用商空间 $\overline{SD}/\sim$ 定义一个与紧化后的黎曼曲面模空间同伦等价的良好行为的同伦类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个紧化、胞腔化的黎曼曲面模空间模型能否在自由循环空间的奇异链上支持链级作用？
• RQ2 商空间 $\overline{SD}/\sim$ 的同调是否恢复了 $H_*(LM)$ 上的 Cohen-Godin 正边界 TQFT？
• RQ3 所提出的链映射 $\mathcal{ST}$ 与先前已知的同调级弦拓扑运算之间有何关系？
• RQ4 $H_0(\overline{SD}/\sim)$ 在 $H_*(LM)$ 上的作用是否与曲面粘合操作相容？
• RQ5 Sullivan 弦图无法捕捉模空间完整同伦类型的缺陷，是否可通过紧化胞腔模型得到弥补？

主要发现

• 链映射 $\mathcal{ST}: \mathcal{C}_*(\overline{SD}(g,k,\ell)) \otimes C_*(LM) \to C_*(LM)$ 是良定义的，并尊重微分，从而建立了链级作用。
• 在同调层面诱导的映射 $\mathcal{ST}_*: H_0(\overline{SD}/\sim) \otimes H_*(LM) \to H_*(LM)$ 恢复了 Cohen-Godin 正边界 TQFT 结构。
• $\overline{SD}/\sim$ 具有与黎曼曲面模空间紧化版本同伦等价的同伦类型。
• 由 $H_0(\overline{SD}/\sim)$ 诱导的运算在同调层面与通过 Sullivan 弦图定义的运算一致。
• $H_0(Sull(g,k,\ell)) \to H_0(\overline{SD}(g,k,\ell)/\sim)$ 的同构在 $H_*(LM)$ 上诱导出一个无余元的 Frobenius 代数同构。
• 该构造与曲面粘合操作相容，如涉及粘合映射 $\#_\mathfrak{s}$ 和弦拓扑运算的交换图所示。