[论文解读] Compactly generated quasitopological homotopy groups with discontinuous multiplication

Paul Fabel|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用 9

一句话总结

该论文为每个整数 $ Q \geq 1 $ 构造了一个紧致、道路连通的度量空间 $ X $，使得其第 $ Q $ 个同伦群 $ \pi_Q(X,p) $ 在商拓扑下是紧致生成的，但乘法不连续，因此不是拓扑群。构造方法是将一系列球面通过收敛线段序列连接至空间，不连续性源于表示群元素的映射序列非等度连续。

ABSTRACT

For each positive integer Q there exists a path connected metric compactum X such that the Qth-homotopy group of X is compactly generated but not a topological group (with the quotient topology).

研究动机与目标

• 解决如下开放问题：当 $ X $ 是道路连通的紧致连通空间且 $ \pi_Q(X,p) $ 是紧致生成时，$ \pi_Q(X,p) $ 是否总是拓扑群？
• 提供反例，表明即使同伦群是紧致生成的，其在商拓扑下也不一定是拓扑群。
• 证明标准群乘法在 $ \pi_Q(X,p) $ 中可能不连续，即使群是拟拓扑群（即逆元连续且乘法分别连续）。
• 表明同伦群的拓扑不足以使其成为拓扑群，即使对于 $ Q \geq 2 $ 也是如此，从而挑战同伦理论中关于结构稳定性的假设。

提出的方法

• 将空间 $ X $ 构造为一列收敛线段 $ L_n \to L $ 的并集，每个 $ L_n $ 的末端附着一个 $ Q $-球面 $ S_n $，在基点 $ p $ 处形成楔和。
• 通过从 $ M_Q(X,p) $ 到 $ \pi_Q(X,p) $ 的自然满射 $ \Pi_Q $ 诱导的商拓扑赋予 $ \pi_Q(X,p) $ 拓扑，其中 $ M_Q(X,p) $ 是从 $ S^Q $ 到 $ X $ 的基点映射空间，配备紧开拓扑。
• 在度量空间 $ M_Q(X,p) $ 中使用序列收敛性论证来分析 $ \pi_Q(X,p) $ 中的收敛性，利用序列空间由收敛序列决定的性质。
• 定义子集 $ A \subset \pi_Q(X,p) $，由长度递增的约化字组成，并通过收敛序列中字长有界性证明其闭性。
• 通过证明 $ (e,e) $ 是乘法预像 $ \ast^{-1}(A) $ 的极限点但不在其中，说明 $ \ast^{-1}(A) $ 在 $ G \times G $ 中不闭，从而证明乘法不连续。
• 利用表示群元素的映射序列的非等度连续性，导出收敛性矛盾，证明若字长无界，则某些序列不可能收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ X $ 是道路连通的紧致连通空间且 $ \pi_Q(X,p) $ 是紧致生成时，对所有 $ Q \geq 1 $，$ \pi_Q(X,p) $ 是否总是拓扑群？
• RQ2 即使对于 $ Q \geq 2 $，紧致生成的同伦群 $ \pi_Q(X,p) $ 是否可能在商拓扑下不是拓扑群？
• RQ3 当 $ \pi_Q(X,p) $ 是紧致生成且 $ X $ 是紧致度量空间时，$ \pi_Q(X,p) $ 中的标准群乘法是否必然保持连续？
• RQ4 同伦群 $ \pi_Q(X,p) $ 中的乘法不连续性是否可能源于 $ M_Q(X,p) $ 中群元素代表映射的非等度连续性？
• RQ5 是否存在一个紧致、道路连通、度量空间 $ X $，使得对所有 $ Q \geq 1 $，$ \pi_Q(X,p) $ 是紧致生成的，但乘法不连续？

主要发现

• 对每个 $ Q \geq 1 $，存在一个紧致、道路连通、度量空间 $ X $，使得 $ \pi_Q(X,p) $ 在商拓扑下是紧致生成的。
• 尽管群是拟拓扑群（逆元连续且乘法分别连续），$ \pi_Q(X,p) $ 中的群乘法仍不连续。
• $ \pi_Q(X,p) $ 中长度递增的约化字集合 $ A $ 是闭集，因为收敛序列中字长有界，故最终必须为常数。
• $ \pi_Q(X,p) \times \pi_Q(X,p) $ 中的预像 $ \ast^{-1}(A) $ 不闭，因为 $ (e,e) $ 是极限点但不在其中，从而证明乘法不连续。
• 该构造依赖于 $ M_Q(X,p) $ 中表示群元素的非等度连续映射序列，若字长无界则无法收敛，从而导出矛盾。
• 空间 $ X $ 是Peano连续统（紧致、局部道路连通、度量），且 $ \pi_Q(X,p) $ 是序列空间，确保收敛性论证有效。