[论文解读] Compactness and an approximation property related to an operator ideal

Anil Kumar Karn, D. P. Sinha|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文引入了相对于算子理想 $\mathcal{A}$ 的 Banach 空间 $X$ 的 $\sigma$-逼近性质（$\mathcal{A}$-a.p.），通过 $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}$ 和 $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}$ 中有限秩算子的可逼近性来刻画该性质。主要结果表明，对于具有 $\ell_\infty$-扩张性质的单射 $\mathcal{A}$，当且仅当 $(\mathcal{A}^{\min})^{\text{inj}} = \mathcal{A}^{\min}$ 时，$X$ 具有 $\mathcal{A}$-a.p.；对 $X^*$ 的情形有对偶结论，从而将经典的逼近性质推广至算子理想框架。

ABSTRACT

For an operator ideal $\mathcal A$, we study the composition operator ideals ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}$ and ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, where $\mathcal K$ is the ideal of compact operators. We introduce a notion of an $\mathcal A$-approximation property on a Banach space and characterise it in terms of the density of finite rank operators in ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$ and ${\mathcal K}\circ{\mathcal A}$. We propose the notions of $\ell_{\infty}$-extension and $\ell_{1}$-lifting properties for an operator ideal $\mathcal A$ and study ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$, ${\mathcal}\circ{\mathcal A}$ and the $\mathcal A$-approximation property where $\mathcal A$ is injective or surjective and/or with the $\ell_{\infty}$-extension or $\ell_{1}$-lifting property. In particular, we show that if $\mathcal A$ is an injective operator ideal with the $\ell_\infty$-extension property, then we have: (a) $X$ has the $\mathcal A$-approximation property if and only if $({\mathcal A}^{min})^{inj}(Y,X)={\mathcal A}^{min}(Y,X)$, for all Banach spaces $Y$. (b) The dual space $X^*$ has the $\mathcal A$-approximation property if and only if $(({\mathcal A}^{dual})^{min})^{sur}(X,Y)=({\mathcal A}^{dual})^{min}(X,Y)$, for all Banach spaces $Y$.}For an operator ideal $\mathcal A$, we study the composition operator ideals ${\mathcal A}\circ{\mathcal K}$,

研究动机与目标

• 通过引入相对于算子理想 $\mathcal{A}$ 的 Banach 空间 $X$ 的 $\mathcal{A}$-逼近性质（a.p.），推广经典逼近性质。
• 通过有限秩算子在复合理想 $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}$ 和 $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}$ 中的可逼近性，刻画 $\mathcal{A}$-a.p.。
• 研究 $\ell_\infty$-扩张性质与 $\ell_1$-提升性质在决定复合理想行为及 $\mathcal{A}$-a.p. 中的作用。
• 建立关于 $X$ 的 $\mathcal{A}$-a.p. 与 $X^*$ 的 $\mathcal{A}^\text{dual}$-a.p. 之间的对偶关系，尤其针对单射与满射理想。
• 将已知关于 $p$-求和算子及其逼近性质的结果推广至一般算子理想框架。

提出的方法

• 引入核过程 $\text{com}: \mathcal{A} \mapsto \mathcal{K} \circ \mathcal{A} \circ \mathcal{K}$，定义与 $\mathcal{A}$ 相关的紧算子层次对象。
• 将 $\mathcal{A}$-逼近性质定义为：对所有 Banach 空间 $Y$，有 $\overline{\mathcal{F}}(Y,X)$ 在 $\mathcal{A} \circ \mathcal{K}(Y,X)$ 和 $\mathcal{K} \circ \mathcal{A}(Y,X)$ 中稠密。
• 引入算子理想的 $\ell_\infty$-扩张与 $\ell_1$-提升性质，推广算子理想理论中的投影性质。
• 证明单射（满射）理想的复合仍是单射（满射），且具有 $\ell_\infty$-扩张（或 $\ell_1$-提升）性质的理想在复合下保持这些性质。
• 利用对偶性与可及性性质，通过范数稠密条件将 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}$ 与 $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}$ 关联至 $\mathcal{A}$-a.p.。
• 在可及性假设下，应用核过程将 $({\mathcal{A}}^{\text{com}})^{\text{inj}}$ 与 $({\mathcal{A}}^{\text{com}})^{\text{sur}}$ 分别与 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}$ 和 $({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}$ 关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时 Banach 空间 $X$ 的 $\mathcal{A}$-逼近性质等价于对所有 Banach 空间 $Y$ 有 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$？
• RQ2 如何刻画 $X^*$ 的 $\mathcal{A}$-a.p. 与 $({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}$ 的满射包之间的关系？
• RQ3 $\ell_\infty$-扩张与 $\ell_1$-提升性质在保持复合理想中单射/满射性及对偶性方面起什么作用？
• RQ4 在何种条件下 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}} = {\mathcal{A}}^{\min}$ 蕴含 $X$ 具有 $\mathcal{A}$-a.p.？
• RQ5 这些结果如何推广已知的关于 $\Pi_p$ 的 $p$-求和逼近性质的刻画？

主要发现

• 若算子理想 $\mathcal{A}$ 是单射且具有 $\ell_\infty$-扩张性质，则 Banach 空间 $X$ 具有 $\mathcal{A}$-逼近性质当且仅当对所有 Banach 空间 $Y$，有 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{inj}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$。
• 对于对偶空间 $X^*$，$\mathcal{A}$-a.p. 成立当且仅当对所有 Banach 空间 $Y$，有 $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{sur}}(X,Y) = ({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}(X,Y)$。
• 若 $\mathcal{A}$ 是右可及且满射，则 $X$ 具有 $\mathcal{A}$-a.p. 当且仅当对所有 $Y$，有 $({\mathcal{A}}^{\min})^{\text{sur}}(Y,X) = {\mathcal{A}}^{\min}(Y,X)$。
• 若 $\mathcal{A}$ 是右可及且满射，则 $X^*$ 具有 $\mathcal{A}$-a.p. 当且仅当对所有 $Y$，有 $(({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min})^{\text{inj}}(X,Y) = ({\mathcal{A}}^{\text{dual}})^{\min}(X,Y)$。
• 结果推广了文献 [8] 中定理 4.5 和 4.6 关于 $p$-求和算子的结果，表明 $\Pi_p$-逼近性质是 $\mathcal{A} = \Pi_p$ 时 $\mathcal{A}$-a.p. 的特例。
• $\ell_\infty$-扩张与 $\ell_1$-提升性质在理想复合下保持不变，且在刻画 $\mathcal{A}^{\min}$ 的单射包与满射包方面起关键作用。