[论文解读] Compactness estimates for Hamilton-Jacobi equations depending on space

Fabio Ancona, Piermarco Cannarsa+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

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一句话总结

本文为凸的、与空间相关的哈密顿-雅可比方程的解半群在 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 中建立了 $1/\varepsilon^N$ 阶的柯尔莫哥洛夫 $\varepsilon$-熵的精确上下界。通过粘性解理论、次凸性估计以及小时间可控性结果，量化了流的紧化效应，将熵与数值分辨率复杂度联系起来，与拉克斯的推测一致。

ABSTRACT

We study quantitative estimates of compactness in $\mathbf{W}^{1,1}_{loc}$ for the map $S_t$, $t>0$ that associates to every given initial data $u_0\in \mathrm{Lip}(\mathbb{R}^N)$ the corresponding solution $S_t u_0$ of a Hamilton-Jacobi equation $$ u_t+H\big(x, abla_{\!x} u\big)=0\,, \qquad t\geq 0,\quad x\in \mathbb{R}^N, $$ with a convex and coercive Hamiltonian $H=H(x,p)$. We provide upper and lower bounds of order $1/\varepsilon^N$ on the the Kolmogorov $\varepsilon$-entropy in $\mathbf{W}^{1,1}$ of the image through the map $S_t$ of sets of bounded, compactly supported initial data. Quantitative estimates of compactness, as suggested by P.D. Lax, could provide a measure of the order of "resolution" and of "complexity" of a numerical method implemented for this equation. We establish these estimates deriving accurate a-priori bounds on the Lipschitz, semiconcavity and semiconvexity constant of a viscosity solution when the initial data is semiconvex. The derivation of a small time controllability result is also fundamental to establish the lower bounds on the $\varepsilon$-entropy.

研究动机与目标

• 量化粘性解半群 $S_t$ 在 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 拓扑下对空间依赖型哈密顿-雅可比方程的紧化效应。
• 将先前仅限于梯度依赖型哈密顿量的 $\varepsilon$-熵估计推广至 $H = H(x,p)$ 显式依赖于空间的一般情形。
• 为有界、紧支集初始数据在 $S_t$ 下的像建立柯尔莫哥洛夫 $\varepsilon$-熵的精确 $1/\varepsilon^N$ 阶边界。
• 将解集的熵与哈密顿-雅可比流的正则化和不可逆性联系起来，呼应 P.D. 拉克斯的观点。
• 建立熵估计与这些方程数值方法复杂度之间的联系，特别是 $\mathbf{L}^1$-稳定格式。

提出的方法

• 推导初始数据为次凸函数时，粘性解的利普希茨常数、次凸性常数和拟凸性常数的先验估计。
• 利用解作为最优控制中值函数的表示，借助勒让德变换 $L(x,q) = \sup_p \{p\cdot q - H(x,p)\}$。
• 应用海利紧致性定理和 BV 函数的庞加莱不等式，证明 $S_t(\mathcal{L})$ 在 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 中的相对紧致性。
• 构造小时间可控性结果，通过将一大类次凸函数嵌入解集中来证明 $\varepsilon$-熵的下界。
• 通过 $\mathbf{W}^{1,1}([-r,r]^N)$ 中的覆盖数估计平移后解集 $S_t(\mathcal{L}) - S_t 0$ 的 $\varepsilon$-熵，利用其支集与正则性结构。
• 通过一族函数 $\widetilde{\mathcal{SC}}^{S_T 0,1}_{[r,2m,2K]}$ 建立下界，这些函数在 $[-r,r]^N$ 上次凸，在外部等于 $S_T 0$，其显式常数由几何与测度推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于空间依赖型哈密顿-雅可比方程，解集 $S_t(\mathcal{L})$ 在 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 中的柯尔莫哥洛夫 $\varepsilon$-熵的精确阶量是多少？
• RQ2 半群 $S_t$ 的紧化效应如何依赖于初始数据的支集与利普希茨常数？
• RQ3 能否通过小时间可控性论证为粘性解的 $\varepsilon$-熵建立精确下界？
• RQ4 解的次凸性结构在多大程度上影响了解集的熵？
• RQ5 熵估计能否用于量化 $\mathbf{L}^1$-稳定数值格式求解哈密顿-雅可比方程的分辨率复杂度？

主要发现

• 在 $\mathbf{W}^{1,1}([-r,r]^N)$ 中，解集 $S_t(\mathcal{L}_{[R,M]}) - S_t 0$ 的柯尔莫哥洛夫 $\varepsilon$-熵下界为 $\gamma^{-}_{[r,K,N]} \cdot \frac{1}{\varepsilon^N}$，其中 $\gamma^{-}_{[r,K,N]} = \frac{1}{8 \ln 2} \left( \frac{K \omega_N r^{N+1}}{48(N+1) 2^{N+1}} \right)^N$。
• 该下界通过在小时间 $T \leq \tau_{R,M}$ 内将一族次凸函数 $\widetilde{\mathcal{SC}}^{S_T 0,1}_{[r,2m,2K]}$ 嵌入解集中而实现，证明熵随 $1/\varepsilon^N$ 增长。
• 通过解半群的正则性与紧致性，建立了 $1/\varepsilon^N$ 阶的上界，确认熵的尺度为 $\Theta(1/\varepsilon^N)$。
• 解映射 $S_t$ 展现出强烈的正则化效应：即使初始数据为有界、紧支集的 $\mbox{Lip}(\mathbb{R}^N)$ 函数，其像在 $\mathbf{W}^{1,1}_{\text{loc}}$ 中仍是预紧的，这归因于局部次凸性。
• 小时间可控性结果对下界至关重要，表明在小时间 $T$ 下，解集包含一大类具有受控次凸性与支集的函数。
• 熵估计为哈密顿-雅可比方程数值方法的复杂度提供了定量度量，支持了拉克斯倡导的 $\mathbf{L}^1$-稳定性与误差估计。