[论文解读] Compactness in Adapted Weak Topologies

Manu Eder|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文對適應弱拓撲（亦稱赫爾維格資訊拓撲）中的相對緊緻集提供了特徵化，該拓撲細化了弱拓撲，以捕捉隨機過程的時序與因果結構。透過結合阿澤拉-阿斯科利定理與普羅霍羅夫定理的元素，本文引入了一種連續模條件，確保在適應弱拓撲下具備緊緻性，進而提供了一種非度量的拓撲準則，適用於標準普羅霍羅夫型結果失效的場景。

ABSTRACT

Over the years a number of topologies for the set of laws of stochastic processes have been proposed. Building on the weak topology they all aim to capture more accurately the temporal structure of the processes. In a parallel paper we show that all of these topologies (i.e. the information topology of Hellwig, the nested distance topology of Pflug-Pichler, the extended weak convergence of Aldous and a topology built from Lasalle's notion of a causal transference plan) are equal in finite discrete time. Regrettably, the simple characterization of compactness given by Prokhorov's theorem for the weak topology fails to be true in this finer topology. This phenomenon is closely related to the failure of a natural metric for this topology to be complete. For certain problems, a 'fix' consists in passing to the metric completion. Still, it also seems interesting to find out what compact sets look like in the uncompleted space. Here we give a characterization of compact sets in this adapted weak topology which is strongly reminiscent of the Arzelà-Ascoli theorem (with a dash of Prokhorov's theorem). The tools developed are also useful elsewhere. We give a different proof of the continuity of the conditionally independent gluing map of two measures with one marginal in common and in our companion paper the ideas developed here form the main non-algebraic ingredient in showing that the information topology introduced by Hellwig is equal to the nested weak topology of Pflug-Pichler.

研究动机与目标

• 特徵化適應弱拓撲中的相對緊緻集，該拓撲細化弱拓撲以尊重隨機過程的因果與時序結構。
• 解決在較細拓撲下普羅霍羅夫定理失效的問題，即序列即使在通常意義下緊緻也可能不收斂。
• 提供一種不依賴度量完備性的緊緻性拓撲準則，適用於原始空間（在度量完備化之前）。
• 建立對證明條件獨立測度黏合操作連續性有用的工具。
• 支援多種拓撲（如赫爾維格、普夫盧格-皮赫勒、阿爾多斯）之間的等價性，如附帶工作中所示。

提出的方法

• 針對乘積空間上的聯合機率測度引入連續模，量化條件分布對過去擾動的敏感度。
• 將連續模定義為 ωμ(δ)，即所有 δ-擾動下條件分布之間距離的上確界。
• 使用 Wasserstein p-距離控制測度耦合之間的距離，確保條件分佈的穩定性。
• 應用測度之間的黏合運算 ⊗̇，構造在多個時間階段保持度量與拓撲性質的耦合。
• 運用分解與耦合技術，分析聯合分佈在小擾動下條件分佈的行為。
• 透過基於連續模與 Wasserstein 距離的 δ-ε 證明，建立黏合映射的連續性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在普羅霍羅夫定理因缺乏度量完備性而失效的適應弱拓撲中，相對緊緻集的特徵是什麼？
• RQ2 如何確保在尊重因果結構的拓撲下，隨機過程律族的緊緻性？
• RQ3 能否發展出一種緊緻性拓撲準則，結合阿澤拉-阿斯科利與普羅霍羅夫定理的特徵於適應過程的脈絡中？
• RQ4 連續模在控制條件分佈於擾動下的穩定性中扮演何種角色？
• RQ5 條件獨立測度黏合映射的連續性與適應弱拓撲的結構有何關聯？

主要发现

• 在有限時 horizon 的乘積空間上，機率測度族在適應弱拓撲下相對緊緻，當且僅當其條件分佈族具有均勻小的連續模。
• 連續模條件確保過去的微小擾動僅引發未來條件分佈的微小變化，此為緊緻性的關鍵。
• 當邊際 μ 固定而 ν 變化時，黏合映射 (μ, ν) ↦ μ ⊗̇ ν 在適應弱拓撲下連續。
• 連續性證明依賴於基於 Wasserstein 距離與耦合技術的 δ-ε 證明，以控制條件分佈之間的距離。
• 所發展的工具為證明有限離散時間下赫爾維格資訊拓撲與嵌套距離拓撲等價性提供了關鍵的非代數性要素。
• 該特徵化不依賴度量完備性，因此可直接應用於原始空間（在完備化之前）。