[论文解读] Compactness of Kahler-Ricci solitons on Fano manifolds

Bin Guo, D. H. Phong+2 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在不假设Futaki不变量一致有界的情况下，建立了固定复维数 $n \geq 2$ 的Fano流形上Kähler-Ricci孤立子序列的Gromov-Hausdorff紧致性。通过利用Birkar的双有理几何结果和Perelman的 $\mu$-泛函，作者证明了此类任意序列均收敛于一个具有对数终端奇点的 $\mathbb{Q}$-Fano流形，该流形配备有Kähler-Ricci孤立子度量及扩展的全纯向量场。

ABSTRACT

In this short paper, we improve the result of Phong-Song-Sturm on degeneration of Fano Kähler-Ricci solitons by removing the assumption on the uniform bound of the Futaki invariant. Let $\mathcal{KR}(n)$ be the space of Kähler-Ricci solitons on $n$-dimensional Fano manifolds. We show that after passing to a subsequence, any sequence in $\mathcal{KR}(n)$ converge in the Gromov-Hausdorff topology to a Kähler-Ricci soliton on an $n$-dimensional $\mathbb{Q}$-Fano variety with log terminal singularities.

研究动机与目标

• 在Gromov-Hausdorff拓扑下建立 $n$-维Fano流形上Kähler-Ricci孤立子空间 $\mathcal{KR}(n)$ 的紧致性。
• 消除早期关于Kähler-Ricci孤立子紧致性结果中对Futaki不变量一致有界的先前假设。
• 证明 $\mathcal{KR}(n)$ 中任意序列的Gromov-Hausdorff极限为一个具有对数终端奇点的 $\mathbb{Q}$-Fano流形，并具有良定义的Kähler-Ricci孤立子结构。
• 为 $\mathcal{KR}(n)$ 中所有Kähler-Ricci孤立子导出与特定流形无关的标量曲率、直径和Futaki不变量的统一有界性。

提出的方法

• 利用Birkar在双有理几何中的近期结果，为任意 $n$-维Fano流形建立Ricci曲率的统一下界 $\epsilon(n) > 0$。
• 将Ricci曲率的统一下界应用于Perelman的 $\mu$-泛函，为 $\mathcal{KR}(n)$ 中所有Kähler-Ricci孤立子导出统一的下界。
• 利用 $\mu$-泛函的统一有界性，获得统一的 $C^0$-估计，从而实现 $\mathcal{KR}(n)$ 中序列的Gromov-Hausdorff收敛。
• 利用Bakry-Émery Ricci曲率的Cheeger-Colding理论及Perelman的伪局部定理，建立极限空间正则部分上的局部光滑收敛。
• 应用文献[23]的主要定理与非坍缩估计，确保极限度量空间为紧致或完备且具有可控奇点。
• 证明Kähler-Ricci孤立子度量与全纯向量场可连续延拓至整个极限空间，包括奇点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设Futaki不变量一致有界的情况下，建立Fano流形上Kähler-Ricci孤立子的Gromov-Hausdorff紧致性？
• RQ2 在 $n$-维Fano流形上，Kähler-Ricci孤立子序列的极限是否必然赋予一个具有对数终端奇点的 $\mathbb{Q}$-Fano流形上的Kähler-Ricci孤立子结构？
• RQ3 能否为 $\mathcal{KR}(n)$ 中所有Kähler-Ricci孤立子导出标量曲率、直径与Futaki不变量的统一有界性？
• RQ4 所有 $n$-维Fano流形上的Kähler-Ricci孤立子的Perelman $\mu$-泛函是否在下界上有统一有界性？
• RQ5 此类序列的Gromov-Hausdorff极限的奇点集的Hausdorff维数是否至多为 $2n-4$？

主要发现

• 任意 $\mathcal{KR}(n)$ 中的序列在Gromov-Hausdorff拓扑下收敛于一个紧致度量长度空间 $(X_\infty, d_\infty)$，其奇点集 $\Sigma_\infty$ 的Hausdorff维数至多为 $2n-4$。
• 极限空间 $(X_\infty, d_\infty)$ 同构于正则部分 $(X_\infty \setminus \Sigma_\infty, g_\infty)$ 的度量完备化，且携带满足 $Ric(g_\infty) = g_\infty + L_{\mathcal{V}_\infty}g_\infty$ 的Kähler-Ricci孤立子结构。
• Kähler度量 $g_\infty$ 可延拓为整个 $\mathbb{Q}$-Fano流形 $X_\infty$ 上的Kähler电流，其局部势有界，且向量场 $\mathcal{V}_\infty$ 可延拓为全局全纯向量场。
• 存在常数 $F(n), D(n), K(n) > 0$，使得对所有 $(X,g,u) \in \mathcal{KR}(n)$，有 $\mathcal{F}_X \leq F(n)$，直径有界于 $D(n)$，且标量曲率满足 $0 < R \leq K(n)$。
• 由于Birkar结果给出的统一Ricci曲率下界，$\mathcal{KR}(n)$ 中任意Kähler-Ricci孤立子的 $\mu$-泛函均被一个仅依赖于 $n$ 的常数统一下界控制。
• 该紧致性结果可推广至在 $\mu$-泛函有统一下界条件下的完备或闭的梯度收缩Ricci孤立子，且具有类似的收敛性与奇点集维数界。