[论文解读] Compactness properties of Ricci flows with bounded scalar curvature

Richard H. Bamler|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文建立了具有有界标量曲率和熵的里奇流的紧致性定理，表明此类流的任意序列均收敛于一个在余维数至少为4的集合之外光滑的极限度量空间。该结果证明了此类流中的奇点具有余维数 ≥4，并在黎曼几何设定下证实了哈密顿-田猜想的一般形式，方法包括曲率估计、格罗莫夫-豪斯多夫收敛性以及一个 $\varepsilon$-正则性定理。

ABSTRACT

In this paper we prove a compactness result for Ricci flows with bounded scalar curvature and entropy. It states that given any sequence of such Ricci flows, we can pass to a subsequence that converges to a metric space which is smooth away from a set of codimension $\geq 4$. The result has two main consequences: First, it implies that singularities in Ricci flows with bounded scalar curvature have codimension $\geq 4$ and, second, it establishes a general form of the Hamilton-Tian Conjecture, which is even true in the Riemannian case. In the course of the proof, we will also establish the following results: $L^{p < 4}$ curvature bounds, integral bounds on the curvature radius, Gromov-Hausdorff closeness of time-slices, an $\varepsilon$-regularity theorem for Ricci flows and an improved backwards pseudolocality theorem.

研究动机与目标

• 在有界标量曲率和熵的条件下，建立里奇流的紧致性结果。
• 分析具有有界标量曲率的里奇流中奇点的结构。
• 在黎曼情形下证明哈密顿-田猜想的广义版本。
• 推导具有有界标量曲率的里奇流的积分曲率估计与正则性估计。
• 建立时间截面之间的格罗莫夫-豪斯多夫接近性以及改进的伪局部性定理。

提出的方法

• 应用 $\varepsilon$-正则性定理以控制局部曲率行为。
• 建立里奇曲率张量在 $L^{p<4}$ 空间中的有界性。
• 通过能量估计推导曲率半径的积分界。
• 利用格罗莫夫-豪斯多夫收敛性比较流的时间截面。
• 证明一个改进的向后伪局部性定理，以控制时空区域中的曲率。
• 分析里奇流子序列的极限，以确定奇点集的余维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有界标量曲率的里奇流中，奇点的最小余维数是多少？
• RQ2 在有界标量曲率条件下，哈密顿-田猜想能否推广到黎曼几何设定？
• RQ3 具有有界标量曲率的里奇流满足哪些积分曲率估计？
• RQ4 在格罗莫夫-豪斯多夫意义下，此类流的时间截面有多接近？
• RQ5 $\varepsilon$-正则性定理在控制曲率集中方面起什么作用？

主要发现

• 任意具有有界标量曲率和熵的里奇流序列的极限均为一个在余维数至少为4的集合之外光滑的度量空间。
• 具有有界标量曲率的里奇流中的奇点具有至少余维数4。
• 在有界标量曲率条件下，广义的哈密顿-田猜想在黎曼情形下成立。
• 曲率半径在 $L^p$ 空间中对 $p<4$ 满足积分有界性。
• 在有界标量曲率条件下，流的时间截面之间具有格罗莫夫-豪斯多夫接近性。
• 建立了改进的向后伪局部性定理，提供了对时空区域中曲率更强的控制。