[论文解读] Compactness results for triholomorphic maps

Costante Bellettini, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文建立了从几乎超赫尔米特流形到单连通超凯勒流形的三全纯映射的紧致性与正则性结果，证明了 $\varepsilon$-正则性结果与通过 $bmo$-$\mathscr{h}^1$ 对偶得到的 $W^{2,1}$-估计。它展示了在爆破点集处的能量离散化，其中泡泡对于依赖于点的复结构是全纯的，并证明了若奇点集位于利普希茨图像上，则其为具有常缺陷测度与共同全纯泡泡的光滑伪全纯曲线。

ABSTRACT

We consider triholomorphic maps from an almost hyper-Hermitian manifold $\mathcal{M}^{4m}$ into a hyperKähler manifold $\mathcal{N}^{4n}$. This means that $u \in W^{1,2}$ satisfies a quaternionic del-bar equation. We work under the assumption that $u$ is locally strongly approximable in $W^{1,2}$ by smooth maps: then such maps are almost stationary harmonic (when $\mathcal{M}$ is hyperKähler as well, then stationary harmonic). We show that in this more general situation the classical $ε$-regularity result still holds. We then address compactness issues for a weakly converging sequence $u_\ell ightharpoonup u_\infty$ of strongly approximable triholomorphic maps $u_\ell:\mathcal{M} o \mathcal{N}$ with uniformly bounded Dirichlet energies. The blow up analysis leads, as in the usual stationary setting, to the existence of a rectifiable blow-up set $Σ$ of codimension $2$, away from which the sequence converges strongly. The defect measure $Θ(x) {\mathcal{H}}^{4m-2} \llcorner Σ$ encodes the loss of energy in the limit; we prove that for a.e. point on $Σ$ the value of $Θ$ is given by the sum of energies of a (finite) number of smooth non-constant holomorphic bubbles (here the holomorphicity is understood w.r.t. a complex structure on $\mathcal{N}$ that depends on the chosen point on $Σ$). In the case that $\mathcal{M}$ is hyperKähler this result was established by C. Y. Wang (2003) with a different proof; we rely on Lorentz space estimates. By means of a calibration and a homological argument we further prove that for each portion of $Σ\setminus ext{Sing}_{u_\infty}$ contained in a Lipschitz graph we find a unique alm. compl. st. on $\mathcal{M}$ that makes the portion pseudoholomorphic and smooth, with $Θ$ constant; moreover the bubbles originating at points of such a smooth piece are holomorphic for a common complex structure.

研究动机与目标

• 在弱正则性假设下，建立三全纯映射的 $\varepsilon$-正则性与 $W^{2,1}$-估计。
• 分析具有有界能量的弱收敛三全纯映射序列的爆破行为。
• 在奇点集处证明能量离散化，将缺陷测度识别为全纯泡泡能量之和。
• 刻画奇点集在位于利普希茨图像上时的结构，表明其为具有共同全纯泡泡的光滑伪全纯子流形。

提出的方法

• 利用 $bmo$-$\mathscr{h}^1$ 对偶，将 $\varepsilon$-正则性结果推广至非光滑三全纯映射。
• 通过三全纯方程与几何结构推导出 $u$ 的拉普拉斯算子的二阶偏微分方程。
• 应用洛伦兹空间估计以控制 Hessian 的 $L^{1}$-范数，并建立 $W^{2,1}$-猜想。
• 通过爆破分析识别出一个余维数为 2 的可求长奇点集 $\Sigma$，能量在此集中。
• 通过校准与同调论证证明：若 $\Sigma$ 位于利普希茨连通图像中，则其为具有常缺陷测度的光滑子流形。
• 通过证明扰动仅影响 PDE 中的低阶项，将问题约化为具有联络的弗策特截面，从而保持核心分析不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于仅在 $W^{1,2}$ 中局部强逼近的三全纯映射（非必然光滑），$\varepsilon$-正则性原理是否成立？
• RQ2 在相同弱正则性假设下，$W^{2,1}$-猜想是否可对三全纯映射成立？
• RQ3 在奇点集 $\Sigma$ 处是否成立能量离散化，且缺陷测度为全纯泡泡能量之和？
• RQ4 在何种几何条件下，奇点集 $\Sigma$ 成为具有共同全纯泡泡的光滑伪全纯子流形？
• RQ5 来自联络的低阶扰动（如在弗策特截面中）如何影响紧致性与正则性结果？

主要发现

• 该 $\varepsilon$-正则性结果对在 $W^{1,2}$ 中局部强逼近的三全纯映射成立，将经典结果推广至更广的类。
• 建立了先验 $W^{2,1}$-估计：$\|u_{\ell}\|_{W^{2,1}} \leq C E(u_{\ell})$，其中 $C>0$ 为通用常数，从而证明了 $W^{2,1}$-猜想。
• 缺陷测度 $\Theta \mathcal{H}^{4m-2}\mathop{\vrule height 7.0pt,width 0.5pt,depth 0.0pt\vrule height 0.5pt,width 6.0pt,depth 0.0pt}}\nolimits \Sigma$ 实现离散化：对 $\mathcal{H}^{4m-2}$-几乎处处 $x \in \Sigma$，有 $\Theta(x) = \sum_{s=1}^{S_x} E(\zeta_s)$，其中 $\zeta_s$ 为非平凡全纯球面。
• 若 $\Sigma \cap (\mathcal{M} \setminus \text{Sing}_{u_\infty})$ 位于利普希茨连通图像中，则该部分 $\Sigma$ 为无边界的光滑子流形，且 $\Theta$ 在其上为常数。
• 在该光滑部分上所有泡泡均为同一复结构下的全纯映射，且 $\mathcal{M}$ 上的几乎复结构在该集合上唯一确定。
• 结果可推广至具有联络的弗策特截面，因扰动项仅影响 PDE 中的低阶项，不改变拉普拉斯算子的 $\mathscr{h}^1$-结构或紧致性结论。