[论文解读] Compactness Theorems for Riemannian Manifolds with Boundary and Applications

Kenneth Steven Knox|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用 11

一句话总结

该论文在曲率、直径和边界(n-1)-体积有界条件下，建立了具有边界的一致平均凸Riemann流形在弱L^{1,p}和Hölder (C^{\beta})拓扑下的紧致性。论文推导了两个稳定性定理：其一表明，Ricci曲率接近0且边界Gromov-Hausdorff距离接近具有正曲率的S^2的3-流形，其C^{\beta}接近于R^3中由Weyl嵌入界定的区域；其二表明，若边界为拓扑球面，则Ricci曲率接近0、±2且平均曲率接近2、2√2、0的3-流形，其C^{\beta}分别接近于曲率为0、-1、1的常曲率空间形式中的度量球。

ABSTRACT

In this paper we prove weak L^{1,p} (and thus C^{\alpha}) compactness for the class of uniformly mean-convex Riemannian n-manifolds with boundary satisfying bounds on curvature quantities, diameter, and (n-1)-volume of the boundary. We obtain two stability theorems from the compactness result. The first theorem applies to 3-manifolds (contained in the aforementioned class) that have Ricci curvature close to 0 and whose boundaries are Gromov-Hausdorff close to a fixed metric on S^2 with positive curvature. Such manifolds are C^{\alpha} close to the region enclosed by a Weyl embedding of the fixed metric into \R^3. The second theorem shows that a 3-manifold with Ricci curvature close to 0 (resp. -2, 2) and mean curvature close to 2 (resp. 2\sqrt 2, 0) is C^{\alpha} close to a metric ball in the space form of constant curvature 0 (resp -1, 1), provided that the boundary is a topological sphere.

研究动机与目标

• 在曲率、直径和边界(n-1)-体积有界条件下，建立一致平均凸Riemann n-流形（带边界）在弱L^{1,p}和Hölder (C^{\beta})拓扑下的紧致性。
• 推导Ricci曲率与边界几何接近特定模型几何的3-流形的稳定性定理。
• 证明Ricci曲率接近零且边界接近具有正曲率的S^2的3-流形，其C^{\beta}接近于R^3中由Weyl嵌入界定的区域。
• 证明在边界为拓扑球面的假设下，Ricci曲率接近0、-2或2且平均曲率接近2、2√2或0的3-流形，其C^{\beta}分别接近于曲率为0、-1或1的常曲率空间形式中的度量球。
• 提出一种利用紧致性方法在曲率与边界约束下研究几何稳定性的通用框架。

提出的方法

• 在曲率、直径和边界(n-1)-体积的统一有界条件下，建立一致平均凸Riemann n-流形（带边界）的弱L^{1,p}紧致性。
• 利用紧致性结果，通过Gromov-Hausdorff收敛与内在几何比较技术推导稳定性定理。
• 应用Weyl嵌入定理，将具有正曲率的边界度量与R^3中的等距嵌入关联，从而实现与欧几里得几何的比较。
• 在空间形式中运用比较几何，将Ricci曲率与平均曲率的有界性与模型几何（欧几里得、双曲、球面空间形式）关联。
• 利用从L^{1,p}紧致性导出的Hölder (C^{\beta})正则性估计，得出度量的C^{\beta}收敛性。
• 利用边界为球面的拓扑假设，确保拓扑刚性，并实现与空间形式中度量球的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲率、直径和边界体积有界条件下，一致平均凸Riemann n-流形（带边界）的类在何种条件下具有弱L^{1,p}和C^{\beta}紧致性？
• RQ2 Ricci曲率接近零且边界Gromov-Hausdorff距离接近具有正曲率的S^2的3-流形，在何种程度上可通过Weyl嵌入近似为R^3中的区域？
• RQ3 Ricci曲率与平均曲率的有界性如何约束具有球面对边界3-流形的几何，使其接近于空间形式中的度量球？
• RQ4 边界拓扑类型（特别是为球面）在确保C^{\beta}稳定性至模型空间形式方面起何种作用？
• RQ5 具有边界的流形的紧致性结果是否可用于推导Ricci曲率与平均曲率的定量稳定性定理？

主要发现

• 在曲率、直径和边界(n-1)-体积有统一有界条件下，一致平均凸Riemann n-流形（带边界）的类具有弱L^{1,p}紧致性，因此对某个β > 0具有C^{\beta}紧致性。
• Ricci曲率接近0且边界Gromov-Hausdorff距离接近固定正曲率S^2度量的3-流形，其C^{\beta}接近于该度量在R^3中通过Weyl嵌入所界定区域。
• 在边界为拓扑球面的条件下，Ricci曲率接近0（相应地-2、2）且平均曲率接近2（相应地2√2、0）的3-流形，其C^{\beta}分别接近于常曲率为0（相应地-1、1）的空间形式中的度量球。
• 稳定性定理由底层紧致性结果推导而来，该结果依赖于对曲率、直径和边界体积的统一控制。
• C^{\beta}收敛性源于弱L^{1,p}紧致性及其后续的正则性估计，而不仅仅是Gromov-Hausdorff收敛。
• 结果表明，Ricci曲率与平均曲率下的几何稳定性，结合边界控制，迫使整个Riemann度量在C^{\beta}拓扑下接近于模型几何。