[论文解读] Comparing Absolute and relative Gromov--Witten invariants

Dusa McDuff|ArXiv.org|Sep 20, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文在辛几何中比较了绝对与相对的 Gromov–Witten 不变量，证明即使在曲线类满足 β·D = 0 的情况下，二者仍可能不同，尤其是在亏格零的情形。作者利用 Li–Ruan 分解公式与维数计数，构造了显式例子，表明相对不变量能检测到靠近除子 D 的曲线贡献，而这些贡献在绝对不变量中被扰动消除，尤其当 D 的法丛为负时。

ABSTRACT

This note compares the usual (absolute) Gromov-Witten invariants of a symplectic manifold with the invariants that count the curves relative to a (symplectic) divisor D. We give explicit examples where these invariants differ even though it seems at first that they should agree, for example when counting genus zero curves in a class \be such that \be\cdot D=0. The main tool is the decomposition formula in the form developed by A. Li--Ruan.

研究动机与目标

• 阐明辛流形中绝对与相对 Gromov–Witten 不变量之间的关系。
• 研究这些不变量在何种情况下一致或不同，尤其关注 β·D = 0 的亏格零情形。
• 确定相对不变量何时为零或非平凡，特别当 D 的法丛非正时。
• 提供显式反例，表明即使在看似等价的几何约束下，绝对与相对不变量仍可能不同。
• 阐明分解公式在比较不变量及检测来自靠近除子的曲线的隐藏贡献中的作用。

提出的方法

• 使用 Li–Ruan 版本的分解公式，将辛流形上的不变量与 D 上的横纹曲面的不变量联系起来。
• 应用维数计数论证，表明当 β·D′ ≥ 0 且约束从 D 上拉回时，某些相对不变量为零。
• 通过在 D 上构造横纹曲面 Y = P(L ⊕ C)，其中 D⁺ 在无穷远处，D′ 在零截面处，构造显式例子以分析相对不变量。
• 分析具有多层结构的稳定映射模空间：X∖D 中的主层与 D 上的 |C*-丛中的高层，以模拟靠近除子的泡状结构。
• 采用虚拟圈积分与约束匹配方法，计算相对不变量，并将其与绝对不变量进行比较。
• 利用同调约束与 D 上的交点理论，排除或验证来自类 f 或 α 的分量的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于满足 β·D = 0 的亏格零曲线，绝对与相对 Gromov–Witten 不变量一致？
• RQ2 即使 β·D = 0，相对不变量是否能检测到在绝对不变量中缺失的曲线贡献？
• RQ3 除子 D 的法丛在稳定映射的正则性与扰动中起何种作用？
• RQ4 为何通过 Gathmann 算法计算的某些不变量非枚举性，这与相对不变量有何关联？
• RQ5 在何种情况下，相对不变量的消失性维数计数论证会失效，其后果为何？

主要发现

• 即使 β·D = 0，绝对与相对的亏格零不变量仍可能不同，这与直观预期相悖。
• 构造了一个显式亏格零例子（命题 3.7），其中相对不变量非零而绝对不变量为零，原因在于绝对情形下的非正则性。
• 当 D 的法丛足够负时，差异出现：稳定映射在 D 上正则，但在 X 中不正则，因此其贡献在绝对不变量中被扰动消除。
• 引理 2.8 表明，当 β·D′ ≥ 0 且约束从 D 上拉回时，相对不变量通过维数计数为零。
• 例 2.9 提供了一个亏格零情形，当 β·D′ < 0 时，消失性结果不成立，表明此时存在非平凡的相对不变量。
• 分解公式允许将相对不变量表示为涉及全空间与除子中分量的配置之和，其贡献来自类 f 与 α 等。