[论文解读] Comparing Classical and Relativistic Kinematics in First-Order Logic

Koen Lefever, Gergely Székely|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

History and Theory of Mathematics参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文使用一阶逻辑形式化比较经典力学与相对论力学，表明通过重新定义时间和空间，狭义相对论可被逻辑地解释为经典力学的延伸。关键结果是：在引入‘以太’假定后，经典力学与狭义相对论在定义上等价，证明从经典物理到相对论物理的转变关键在于拒绝以太假说并重新定义同时性与测量方式。

ABSTRACT

The aim of this paper is to present a new logic-based understanding of the connection between classical kinematics and relativistic kinematics. We show that the axioms of special relativity can be interpreted in the language of classical kinematics. This means that there is a logical translation function from the language of special relativity to the language of classical kinematics which translates the axioms of special relativity into consequences of classical kinematics. We will also show that if we distinguish a class of observers (representing observers stationary with respect to the "Ether") in special relativity and exclude the non-slower-than light observers from classical kinematics by an extra axiom, then the two theories become definitionally equivalent (i.e., they become equivalent theories in the sense as the theory of lattices as algebraic structures is the same as the theory of lattices as partially ordered sets). Furthermore, we show that classical kinematics is definitionally equivalent to classical kinematics with only slower-than-light inertial observers, and hence by transitivity of definitional equivalence that special relativity theory extended with "Ether" is definitionally equivalent to classical kinematics. So within an axiomatic framework of mathematical logic, we explicitly show that the transition from classical kinematics to relativistic kinematics is the knowledge acquisition that there is no "Ether", accompanied by a redefinition of the concepts of time and space.

研究动机与目标

• 提供一种形式化、基于逻辑的理论理解，揭示经典力学与相对论力学之间的关系，超越低速近似。
• 研究如何使用一阶逻辑将狭义相对论的公理系统逻辑地翻译为经典力学的语言。
• 确定经典力学与狭义相对论在何种条件下实现定义等价。
• 阐明从经典物理到相对论物理的本体论转变，本质上是概念框架的改变，而非经验内容的改变。
• 利用定义等价性与逻辑解释，精确识别两种理论之间的公理差异。

提出的方法

• 在包含等号的多 sorts 一阶逻辑中公理化经典力学与狭义相对论，遵循 Andréka–Németi 学派的代数逻辑框架。
• 定义一个从狭义相对论语言到经典力学的逻辑翻译函数，将狭义相对论的公理映射为经典力学的推论。
• 引入‘以太观测量不变性’（EOI）概念，以形式化在以太系观测者选择下的不变性。
• 利用定义等价性，证明仅包含低于光速惯性观测者的经典力学，与包含特权以太参考系的经典力学在逻辑上等价。
• 在经典力学中应用 Poincaré–Einstein 同步方法，以建模相对论性的同时性，灵感来自 Ax 的可靠模型。
• 证明在狭义相对论中添加‘以太’公理后，所得理论通过定义等价性的传递性，与经典力学在定义上等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用一阶逻辑在经典力学的语言中逻辑地解释狭义相对论的公理？
• RQ2 在何种逻辑条件下，经典力学与狭义相对论实现定义等价？
• RQ3 ‘以太’在逻辑层面上如何区分经典力学与相对论力学？
• RQ4 狭义相对论中对时间和空间的重新定义，如何通过逻辑翻译从经典假设中自然导出？
• RQ5 能否将从经典力学到相对论力学的转变，完整地捕捉为形式化公理逻辑框架中的知识获取过程？

主要发现

• 狭义相对论的公理可在经典力学的语言中被逻辑地解释，意味着在应用适当翻译后，这些公理是经典力学的推论。
• 仅包含低于光速惯性观测者的经典力学，与包含特权以太参考系的经典力学在定义上等价。
• 在狭义相对论中添加‘以太’公理后，所得理论通过定义等价性的传递性，与经典力学在定义上等价。
• 经典力学与相对论力学之间的关键差异不在于经验内容，而在于拒绝以太假说以及通过 Poincaré–Einstein 同步重新定义时间与空间。
• 该逻辑框架确保所有假设均明确且可被机器验证，从而支持形式化证明的验证。
• 使用以太观测量不变性（EOI）可形式化证明某些公式在以太观测者选择下保持不变，从而支持逻辑翻译的稳健性。