[论文解读] Comparing Fréchet and positive stable laws

Thomas Simon|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 6

一句话总结

该论文通过分析幂变换稳定的变量，建立了正稳定分布与弗雷歇分布之间的随机序与凸序比较。证明了${\bf Z}_{\alpha}$的某些归一化变换相对于指数分布和弗雷歇分布具有随机序与凸序，提供了稳定分布尾部和密度行为的精确界限，并实现了对梅特格-莱夫勒函数的统一估计。

ABSTRACT

Let ${\bf L}$ be the unit exponential random variable and ${\bf Z}_α$ the standard positive $α$-stable random variable. We prove that $\{(1-α) α^{γ_α} {\bf Z}_α^{-γ_α}, 0< α<1\}$ is decreasing for the optimal stochastic order and that $\{(1-α){\bf Z}_α^{-γ_α}, 0< α< 1\}$ is increasing for the convex order, with $γ_α= α/(1-α).$ We also show that $\{Γ(1+α) {\bf Z}_α^{-α}, 1/2\le α\le 1\}$ is decreasing for the convex order, that ${\bf Z}_α^{-α}\,\prec_{st}\, Γ(1-α) Ł$ and that $Γ(1+\a){\bf Z}_α^{-α} \,\prec_{cx}\,{\bf L}.$ This allows to compare ${\bf Z}_α$ with the two extremal Fréchet distributions corresponding to the behaviour of its density at zero and at infinity. We also discuss the applications of these bounds to the strange behaviour of the median of ${\bf Z}_α$ and ${\bf Z}_α^{-α}$ and to some uniform estimates on the classical Mittag-Leffler function. Along the way, we obtain a canonical factorization of ${\bf Z}_α$ for $α$ rational in terms of Beta random variables. The latter extends to the one-sided branches of real strictly stable densities.

研究动机与目标

• 通过随机序与凸序比较正$α$-稳定分布(${\bf Z}_{\alpha}$)与弗雷歇分布的随机行为。
• 通过将其与零点和无穷远处的极值弗雷歇分布关联，推导出${\bf Z}_{\alpha}$尾部与密度的精确界限。
• 利用推导出的随机序，建立经典梅特格-莱夫勒函数的统一估计。
• 对于有理数$α$，基于贝塔与伽马随机变量，提供${\bf Z}_{\alpha}$的典范分解，扩展至单边稳定密度。

提出的方法

• 利用${\bf Z}_{\alpha}$的拉普拉斯变换表征：$\mathbb{E}[e^{-\lambda{\bf Z}_{\alpha}}] = e^{-\lambda^{\alpha}}$，以分析其分布性质。
• 应用随机序理论：若对所有递增函数$\varphi$有$\mathbb{E}[\varphi(X)] \leq \mathbb{E}[\varphi(Y)]$，则定义$X \prec_{st} Y$；若对所有凸函数$\varphi$有$\mathbb{E}[\varphi(X)] \leq \mathbb{E}[\varphi(Y)]$，则定义$X \prec_{cx} Y$。
• 引入随机变量${\bf S} = e^{{\bf X}}$，其中${\bf X}$为谱负的$1$-稳定分布，以构造典范下界。
• 通过幂变换推导序关系：$\{(1-\alpha)\alpha^{\gamma_{\alpha}}{\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$，其中$\gamma_{\alpha} = \alpha/(1-\alpha)$，并证明其在$\alpha$上的单调性。
• 利用恒等式$\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$和$\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$，将其与指数变量进行比较。
• 基于表示$X^+(\alpha,\rho)$，建立有理数$\alpha$下${\bf Z}_{\alpha}$的分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 正$\alpha$-稳定分布与弗雷歇分布在尾部和密度行为方面，其随机行为如何比较？
• RQ2 凸序是否可用于比较${\bf Z}_{\alpha}$的归一化幂变换与指数分布及弗雷歇分布？
• RQ3 从${\bf Z}_{\alpha}$的随机序中推导出的梅特格-莱夫勒函数的精确界限是什么？
• RQ4 能否基于贝塔与伽马随机变量，为有理数$\alpha$构造${\bf Z}_{\alpha}$的典范分解？
• RQ5 在参数空间的屋脊上观察到的凸序单调性是否可延伸至横梁部分，这对单边稳定密度有何含义？

主要发现

• 在$0 < \alpha < 1$上，最优随机序下，族$\{(1-\alpha)\alpha^{\gamma_{\alpha}}{\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$（其中$\gamma_{\alpha} = \alpha/(1-\alpha)$）是递减的。
• 在$0 < \alpha < 1$上，族$\{(1-\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$在凸序下是递增的。
• 在$1/2 \leq \alpha \leq 1$上，族$\{\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha}\}$在凸序下是递减的。
• 有${\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{st} \Gamma(1-\alpha){\bf L}$且$\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$，提供了精确界限。
• 对于有理数$\alpha$，获得了${\bf Z}_{\alpha}$基于贝塔与伽马随机变量的典范分解，可扩展至单边稳定密度。
• 映射$\rho \mapsto \Gamma(1+\rho)\Gamma(1-\rho)X^+(1,\rho)$在$(0,1)$上关于凸序是非增的，表明参数空间中存在更广泛的凸序结构。