[论文解读] Comparing globular complex and flow

Philippe Gaucher|ArXiv.org|Aug 7, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 13

一句话总结

该论文构建了一个从胞状CW复形到流的函子，该函子保持S-同伦与T-同伦等价关系，建立了胞状CW复形关于S-同伦的局部化与流关于弱S-同伦等价关系的局部化之间的等价性。其主要贡献在于通过该函子定义了流的底层同伦类型，从而提供了一种dihomotopy不变的同伦类型构造方法。

ABSTRACT

A functor is constructed from the category of globular CW-complexes to that of flows. It allows the comparison of the S-homotopy equivalences (resp. the T-homotopy equivalences) of globular complexes with the S-homotopy equivalences (resp. the T-homotopy equivalences) of flows. Moreover, it is proved that this functor induces an equivalence of categories from the localization of the category of globular CW-complexes with respect to S-homotopy equivalences to the localization of the category of flows with respect to weak S-homotopy equivalences. As an application, we construct the underlying homotopy type of a flow.

研究动机与目标

• 在定向同伦理论的背景下，比较胞状CW复形与流的同伦理论。
• 建立一个从胞状CW复形到流的函子，该函子保持S-同伦与T-同伦等价关系。
• 将流的底层同伦类型定义为dihomotopy不变量，从而能够从定向结构中提取经典同伦类型。
• 证明流中的弱S-同伦等价关系与T-同伦等价关系可通过该函子与胞状复形中的对应关系相对应。

提出的方法

• 在胞状CW复形范畴与流的范畴之间构造一个函子 $\mathsf{cat}$，利用准流结构和执行路径的几何实现。
• 通过柱函子与同伦提升性质，在两个范畴中分别定义S-同伦与T-同伦等价关系。
• 在流的范畴中使用 $\mathsf{Glob}(\partial Z) \to \mathsf{Glob}(Z)$ 的上积来建模胞的黏合。
• 应用同伦极限与同伦拉回，比较两种设定下的执行路径与S-同伦关系。
• 在流的范畴上建立一个模型结构，以弱S-同伦等价关系作为弱等价关系。
• 利用该函子诱导出局部化范畴 $\mathbf{glCW}[\mathcal{SH}^{-1}]$ 与 $\mathbf{Flow}[\mathcal{S}^{-1}]$ 之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 从胞状CW复形到流的函子是否在两个范畴中都保持S-同伦等价关系？
• RQ2 流的底层同伦类型能否独立于胞状复形进行定义，且是否为dihomotopy不变量？
• RQ3 通过该函子，胞状复形中的T-同伦等价关系与流中的T-同伦等价关系之间是否存在对应关系？
• RQ4 该函子在局部化范畴上的诱导是否建立了 $\mathbf{glCW}[\mathcal{SH}^{-1}]$ 与 $\mathbf{Flow}[\mathcal{S}^{-1}]$ 之间的范畴等价？
• RQ5 从流到拓扑空间同伦范畴的底层同伦类型函子是否定义良好，并在弱S-同伦与T-同伦等价关系下保持不变？

主要发现

• 函子 $\mathsf{cat}: \mathbf{glCW} \to \mathbf{Flow}$ 在关于S-同伦等价关系的局部化胞状CW复形范畴与关于弱S-同伦等价关系的局部化流范畴之间诱导出范畴等价。
• 胞状复形中的S-同伦等价关系在 $\mathsf{cat}$ 的像流中精确对应于弱S-同伦等价关系，反之亦然。
• 胞状CW复形的T-同伦等价关系在 $\mathsf{cat}$ 下对应于流的T-同伦等价关系，确保了与两种同伦理论的兼容性。
• 底层同伦类型函子 $|-|: \mathbf{Flow} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{Top})$ 定义良好，并将弱S-同伦与T-同伦等价关系映射为同伦范畴中的同构。
• 流的底层同伦类型构造是dihomotopy不变的，因此成为定向同伦理论中的典范不变量。
• 对于任意流 $X$，其底层同伦类型 $|X|$ 同构于 $\mathsf{cat}(X)$ 的底层拓扑空间的同伦类型，且该构造与S-和T-同伦等价关系兼容。