[论文解读] Comparing Graph Spectra of Adjacency and Laplacian Matrices

Johannes F. Lutzeyer, Andrew T. Walden|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文通过应用仿射变换对齐谱，比较图信号处理中邻接矩阵与拉普拉斯矩阵的谱特性，推导出依赖于图度极值的特征值差异界。关键贡献是邻接矩阵与随机游走归一化拉普拉斯矩阵之间特征值差异的紧致界 $ 3\frac{d_{\text{max}} - d_{\text{min}}}{d_{\text{max}} + d_{\text{min}}} $，表明度差异较大时，不同矩阵表示下的推断结果不一致，而度差异较小时则具有鲁棒性。

ABSTRACT

Typically, graph structures are represented by one of three different matrices: the adjacency matrix, the unnormalised and the normalised graph Laplacian matrices. The spectral (eigenvalue) properties of these different matrices are compared. For each pair, the comparison is made by applying an affine transformation to one of them, which enables comparison whilst preserving certain key properties such as normalised eigengaps. Bounds are given on the eigenvalue differences thus found, which depend on the minimum and maximum degree of the graph. The monotonicity of the bounds and the structure of the graphs are related. The bounds on a real social network graph, and on three model graphs, are illustrated and analysed. The methodology is extended to provide bounds on normalised eigengap differences which again turn out to be in terms of the graph's degree extremes. It is found that if the degree extreme difference is large, different choices of representation matrix may give rise to disparate inference drawn from graph signal processing algorithms; smaller degree extreme differences result in consistent inference, whatever the choice of representation matrix. The different inference drawn from signal processing algorithms is visualised using the spectral clustering algorithm on the three representation matrices corresponding to a model graph and a real social network graph.

研究动机与目标

• 研究不同图矩阵表示（邻接矩阵、未归一化拉普拉斯矩阵、随机游走归一化拉普拉斯矩阵）对图信号处理中谱推断的影响。
• 确定在何种条件下，不同矩阵表示下的谱分析结果保持一致。
• 量化谱特性对图中度异质性的敏感性。
• 提供保持归一化特征间隙结构的特征值与特征间隙差异的界。

提出的方法

• 应用仿射变换对齐邻接矩阵 $ A $ 与随机游走归一化拉普拉斯矩阵 $ L_{\text{rw}} $ 的谱，保持特征值顺序与归一化特征间隙不变。
• 利用 Weyl 不等式推导 $ A $ 与 $ L_{\text{rw}} $ 之间特征值差异的界，参数化为变换中的缩放因子 $ c_2 $。
• 分析所推导界在 $ c_2 $ 的三个区间内的单调性，识别使界最小化的最优 $ c_2 $。
• 通过在 $ c_2 $ 上最小化，推导出紧致界 $ e(A, L_{\text{rw}}) = 3\frac{d_{\text{max}} - d_{\text{min}}}{d_{\text{max}} + d_{\text{min}}} $，并排除退化情形。
• 可视化不同矩阵表示下谱聚类结果的差异，以展示谱发散的实际影响。
• 在真实社交网络与模型图上验证界的有效性，表明当 $ d_{\text{max}} \leq 5d_{\text{min}} $ 时结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不同图结构下，邻接矩阵与随机游走归一化拉普拉斯矩阵的特征值有何比较？
• RQ2 邻接矩阵与 $ L_{\text{rw}} $ 之间特征值差异的最紧致界是什么？其如何依赖于图的度异质性？
• RQ3 在何种条件下，不同矩阵表示能产生图信号处理中一致的谱推断？
• RQ4 度差 $ d_{\text{max}} - d_{\text{min}} $ 如何影响谱聚类及其他算法的可靠性？
• RQ5 仿射变换能否在保持归一化特征间隙的同时，实现不同图矩阵谱的比较？

主要发现

• 邻接矩阵 $ A $ 与随机游走归一化拉普拉斯矩阵 $ L_{\text{rw}} $ 之间特征值差异的界为 $ 3\frac{d_{\text{max}} - d_{\text{min}}}{d_{\text{max}} + d_{\text{min}}} $，该界为紧致界，且在 $ d_{\text{max}} \leq 5d_{\text{min}} $ 时有效。
• 当 $ d_{\text{max}} > 5d_{\text{min}} $ 时，最小界值为 2，但对应退化变换，故因不可逆而被排除。
• 对于 $ d $-正则图（即 $ d_{\text{max}} = d_{\text{min}} $），该界退化为零，确认不同表示下的谱一致性。
• 当 $ d_{\text{max}} - d_{\text{min}} $ 较大时，不同矩阵表示下的谱聚类结果显著不同，表明推断不一致。
• 当 $ d_{\text{max}} \leq 5d_{\text{min}} $ 时，该界最紧致，且在此区域内，界为 $ 3\frac{d_{\text{max}} - d_{\text{min}}}{d_{\text{max}} + d_{\text{min}}} $，其值小于等于 2。
• 分析表明，仅当度极值差异较小时，才能保证不同矩阵表示间推断的一致性。