[论文解读] Comparing theories: the dynamics of changing vocabulary. A case-study in relativity theory

Hajnal Andréka, István Németi|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2013

Philosophy and Theoretical Science参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文使用数学逻辑比较了两个不同的狭义相对论一阶逻辑公理化体系：基于参考系的理论（SpecRel）与基于信号的理论（SigTh）。通过构建塔斯基意义上的解释性等价关系，证明了SigTh可表达SpecRel的全部内容，但相对距离除外；后者仅在向SigTh中添加AxSym（单位测量）后才能被捕捉。关键贡献在于，基于信号交换提出了一套具体的参考系操作语义，统一了相对论中的理论与观测框架。

ABSTRACT

There are several first-order logic (FOL) axiomatizations of special relativity theory in the literature, all looking essentially different but claiming to axiomatize the same physical theory. In this paper, we elaborate a comparison, in the framework of mathematical logic, between these FOL theories for special relativity. For this comparison, we use a version of mathematical definability theory in which new entities can also be defined besides new relations over already available entities. In particular, we build an interpretation of the reference-frame oriented theory SpecRel into the observationally oriented Signalling theory of James Ax. This interpretation provides SpecRel with an operational/experimental semantics. Then we make precise, "quantitative" comparisons between these two theories via using the notion of definitional equivalence. This is an application of logic to the philosophy of science and physics in the spirit of Johan van Benthem's work.

研究动机与目标

• 比较表面上不同但声称描述同一物理理论的狭义相对论一阶逻辑公理化体系。
• 解决关于这些理论在内容和表达能力上是否等价的基础性问题。
• 开发一种比较具有不相交词汇表的理论的方法，使用扩展的可定义性理论，允许定义新类型的实体，而不仅仅是关系。
• 通过将参考系解释为信号发射与接收，为狭义相对论中的参考系提供操作/实验语义。
• 通过展示AxSym（单位测量）等公理是定义上的便利而非物理必要性，阐明其哲学与物理意义。

提出的方法

• 使用一种可定义新类型实体（而不仅仅是关系）的可定义性理论变体，以比较具有不同原始概念的理论。
• 构建从以参考系为导向的理论SpecRel到以信号为基础的理论SigTh的塔斯基式解释，从而为理论构造赋予操作意义。
• 通过增加一个新的原始关系Tu（时间单位）来扩展SigTh的语言，以捕捉闵氏距离，形成SigTh⁺。
• 证明SigTh⁺与加强版SpecRel（SpecRel + Compl⁻）之间的定义等价性，后者包含AxSym及其他辅助公理。
• 通过自同构群分析表明，SigTh与SigTh⁺并非定义等价，从而证明添加Tu是本质性的，且在原始语言中不可定义。
• 将该框架应用于证明SigTh与戈德布莱特的几何理论（含时间定向）在定义上等价，并与萨波斯公理化的一个变体等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在理论内容与表达能力上，有意义地比较两个词汇表不相交的一阶逻辑公理化体系——即基于参考系的SpecRel与基于信号和粒子的SigTh？
• RQ2 基于参考系的理论SpecRel与基于信号的理论SigTh之间存在何种精确的逻辑关系，特别是关于单位测量公理AxSym的作用？
• RQ3 如何通过数学逻辑，从诸如信号发射与接收等观测原始概念中，严格推导出参考系的操作语义？
• RQ4 Minkowski事件间距离是否可在SigTh的语言中定义，还是必须扩展该理论？
• RQ5 诸如时间定向与AxSym等辅助公理在理论表达能力中的贡献程度如何？它们能否被证明为定义性而非物理公设？

主要发现

• 当加入时间定向后，SigTh与戈德布莱特的几何公理化体系的一个变体在定义上等价，表明这两种表述在逻辑上可相互转换。
• SigTh⁺（即在SigTh中增加时间单位关系Tu）与SpecRel + Compl⁻在定义上等价，其中Compl⁻包含AxSym及其他辅助公理，从而在两个框架之间建立了精确的逻辑桥梁。
• SigTh中添加Tu并非在原始语言中可定义的，如自同构群的差异所示，这证明了SigTh与SigTh⁺在定义上不等价。
• AxSym（固定单位测量）并非物理或哲学上的本质要素，而是一种简化假设；其内容由SigTh⁺中的新原始关系Tu所捕捉。
• 对SpecRel在SigTh中的解释为参考系提供了具体的操作语义，通过信号交换来定义参考系，即使在宇宙学尺度上也具有可行性。
• 本文表明，通过数学逻辑中的解释实现的定义等价性，可作为比较具有不同原始概念的物理理论的严谨方法，为物理学中的理论比较提供统一框架。