[论文解读] Comparing WO$(\omega^\omega)$ with $\Sigma^0_2$ induction

Stephen G. Simpson|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文确立了第二阶算术中 WO$(\omega^\omega)$——即序数 $\omega^\omega$ 是良序的陈述——与子系统 $\Sigma^0_2$ 归纳法（I$\Sigma^0_2$）和 $\Sigma^0_2$ 有界性（B$\Sigma^0_2$）之间的逻辑关系。证明表明，I$\Sigma^0_2$ 蕴含 WO$(\omega^\omega)$，但 WO$(\omega^\omega)$ 不蕴含 B$\Sigma^0_2$，且二者结合也不蕴含 I$\Sigma^0_2$，从而将 WO$(\omega^\omega)$ 的证明论强度严格置于 B$\Sigma^0_2$ 和 I$\Sigma^0_2$ 之间。

ABSTRACT

Let WO$(\\omega^\\omega)$ be the statement that the ordinal number $\\omega^\\omega$ is well ordered. WO$(\\omega^\\omega)$ has occurred several times in the reverse-mathematical literature. The purpose of this expository note is to discuss the place of WO$(\\omega^\\omega)$ within the standard hierarchy of subsystems of second-order arithmetic. We prove that WO$(\\omega^\\omega)$ is implied by I$\\Sigma^0_2$ and independent of B$\\Sigma^0_2$. We also prove that WO$(\\omega^\\omega)$ and B$\\Sigma^0_2$ together do not imply I$\\Sigma^0_2$.

研究动机与目标

• 阐明 WO$(\omega^\omega)$——即 $\omega^\omega$ 是良序的陈述——在第二阶算术子系统层次中的证明论强度。
• 确定 WO$(\omega^\omega)$ 是否蕴含或被 $\Sigma^0_2$ 归纳法（I$\Sigma^0_2$）或 $\Sigma^0_2$ 有界性（B$\Sigma^0_2$）所蕴含。
• 在 RCA$_0$ 上建立 WO$(\omega^\omega)$ 与 B$\Sigma^0_2$ 的独立性，并证明二者合取不蕴含 I$\Sigma^0_2$。
• 在反向数学的背景下，对 WO$(\omega^\omega)$、I$\Sigma^0_2$ 和 B$\Sigma^0_2$ 之间的逻辑关系进行模型论与证明论分析。

提出的方法

• 对自然数 $n$ 使用 $\Pi^0_2$ 归纳法，证明对任意 $\omega^\omega$ 中的递减序列 $f$，公式 $\Phi(n,f)$ 成立，若此类序列存在则最终导致矛盾。
• 应用 $\Pi^0_2$ 归纳法分析 $\omega^\omega$ 中递减序列的结构，利用康托尔标准形及序数算术的性质。
• 构造 B$\Sigma^0_2$ + $\Psi$ 的非标准模型 $M$，然后通过非标准元素 $c$ 的 $\Sigma^0_2$-可定义性形成其初段 $\widehat{M}_2$，以分析该模型的封闭性质。
• 使用下溢（underspill）和余维数（cofinality）论证，证明 $\widehat{M}_2$ 满足 B$\Sigma^0_2$ 和 WO$(\omega^\omega)$，但不满足 I$\Sigma^0_2$，通过展示存在一个从有界子集到无界子集的 $\Sigma^0_2$-可定义满射。
• 应用 $\Sigma^0_2$-初等子模型方法与统一公式（uniformizing formulas），证明 $\widehat{M}_2$ 不满足 I$\Sigma^0_2$，同时保持 B$\Sigma^0_2$ 和 WO$(\omega^\omega)$。
• 证明 RCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$ + WO$(\alpha)$ 对于一个原始递归线性序 $\alpha$ 的一致性，意味着其不证明 I$\Sigma^0_2$，通过推广模型论构造实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在第二阶算术的背景下，I$\Sigma^0_2$ 是否蕴含 WO$(\omega^\omega)$？
• RQ2 WO$(\omega^\omega)$ 是否可在 RCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$ 中证明？
• RQ3 WO$(\omega^\omega)$ 与 B$\Sigma^0_2$ 能否共同证明 I$\Sigma^0_2$？
• RQ4 WO$(\omega^\omega)$ 相对于第二阶算术的标准子系统，其精确的证明论强度是什么？
• RQ5 是否存在一个满足 RCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$ + WO$(\omega^\omega)$ 但不满足 I$\Sigma^0_2$ 的模型？

主要发现

• WO$(\omega^\omega)$ 在 RCA$_0$ + I$\Sigma^0_2$ 中可证明，方法是通过对 $\omega^\omega$ 中递减序列结构使用 $\Pi^0_2$ 归纳法。
• 在 RCA$_0$ 上，WO$(\omega^\omega)$ 不蕴含 B$\Sigma^0_2$，因为 Ackermann 函数的总函数性可在 RCA$_0$ + WO$(\omega^\omega)$ 中证明，但不能在 RCA$_0$ + B$\Sigma^0_2$ 中证明。
• WO$(\omega^\omega)$ 与 B$\Sigma^0_2$ 一起不蕴含 I$\Sigma^0_2$，通过构造一个满足二者但不满足 I$\Sigma^0_2$ 的模型 $\widehat{M}_2$ 得到证明。
• 模型 $\widehat{M}_2$ 是作为 B$\Sigma^0_2$ + $\Psi$ 的非标准模型 $M$ 的初段构造而成，通过从非标准元素 $c$ 的 $\Sigma^0_2$-可定义性实现，且证明其满足 WO$(\omega^\omega)$ 和 B$\Sigma^0_2$，但不满足 I$\Sigma^0_2$。
• 该证明依赖于下溢及 $\Sigma^0_2$-归纳法的失效，原因是一个 $\Sigma^0_2$-可定义满射从有界子集映射到 $\widehat{M}_2$ 的无界子集。
• 结果可推广至更高层次：对 $k \geq 2$，WO$(\omega_k)$ 可在 RCA$_0$ + I$\Sigma^0_k$ 中证明，但不能在 RCA$_0$ + B$\Sigma^0_k$ 中证明，且二者合取不蕴含 I$\Sigma^0_k$。