[论文解读] Comparison analysis on two numerical methods for fractional diffusion problems based on rational approximations of $t^{\gamma}, \ 0 \le t \le 1$

Stanislav Harizanov, Raytcho Lazarov+3 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文介绍了并比较了三种用于求解涉及对称正定矩阵的分数阶幂的分数阶扩散问题的数值方法：基于 $t^{1-eta}$ 的有理逼近的 BURA 方法，基于 $t^{eta}$ 的有理逼近的新 R-BURA 方法，以及 Bonito 和 Pasciak 提出的指数收敛求积法。主要贡献在于表明，当 $\alpha$ 接近 1 时，R-BURA 显著优于 BURA；而当 $\alpha$ 接近 0 时，BURA 表现更优，显示出两者在不同分数阶下在精度和效率方面的互补优势。

ABSTRACT

We discuss, study, and compare experimentally three methods for solving the system of algebraic equations $\mathbb{A}^\alpha \bf{u}=\bf{f}$, $0< \alpha <1$, where $\mathbb{A}$ is a symmetric and positive definite matrix obtained from finite difference or finite element approximations of second order elliptic problems in $\mathbb{R}^d$, $d=1,2,3$. The first method, introduced by Harizanov et.al, based on the best uniform rational approximation (BURA) $r_\alpha(t)$ of $t^{1-\alpha}$ for $0 \le t \le 1$, is used to get the rational approximation of $t^{-\alpha}$ in the form $t^{-1}r_\alpha(t)$. Here we develop another method, denoted by R-BURA, that is based on the best rational approximation $r_{1-\alpha}(t)$ of $t^\alpha$ on the interval $[0,1]$ and approximates $t^{-\alpha}$ via $r^{-1}_{1-\alpha}(t)$. The third method, introduced and studied by Bonito and Pasciak, is based on an exponentially convergent quadrature scheme for the Dundord-Taylor integral representation of the fractional powers of elliptic operators. All three methods reduce the solution of the system $\mathbb{A}^\alpha \bf{u}=\bf{f}$ to solving a number of equations of the type $(\mathbb{A} +c\mathbb{I})\bf{u}= \bf{f}$, $c \ge 0$. Comprehensive numerical experiments on model problems with $\mathbb A$ obtained by approximation of elliptic equations in one and two spatial dimensions are used to compare the efficiency of these three algorithms depending on the fractional power $\alpha$. The presented results prove the concept of the new R-BURA method, which performs well for $\alpha$ close to $1$ in contrast to BURA, which performs well for $\alpha $ close to $0$. As a result, we show theoretically and experimentally, that they have mutually complementary advantages.

研究动机与目标

• 比较三种数值方法在求解 $A^{\alpha} u = f$ 问题中的效率与精度，其中 $A$ 是来自椭圆型偏微分方程有限差分或有限元离散化的对称正定矩阵。
• 分析最佳一致有理逼近（BURA）方法在 $t^{1-\alpha}$ 上的表现，并提出一种新方法 R-BURA，其基于对 $t^{\alpha}$ 的逼近。
• 评估并对比新提出的 R-BURA 方法与现有的 BURA 方法以及 Bonito 和 Pasciak 提出的指数收敛求积法在收敛速率、精度和计算成本方面的表现。
• 证明 BURA 和 R-BURA 方法具有互补性：当 $\alpha \to 0$ 时，BURA 最为有效；当 $\alpha \to 1$ 时，R-BURA 表现更优，且在固定网格尺寸 $h$ 下，两者均表现出指数收敛。

提出的方法

• BURA 方法使用 $[0,1]$ 上 $t^{1-\alpha}$ 的最佳有理逼近 $r_\alpha(t)$，通过构造 $t^{-1} r_\alpha(t)$ 来获得 $t^{-\alpha}$ 的有理逼近，从而将 $A^{\alpha} u = f$ 问题转化为求解多个形如 $(A + cI)u = f$ 的移位系统。
• 新提出的 R-BURA 方法基于 $[0,1]$ 上 $t^{\alpha}$ 的最佳有理逼近 $r_{1-\alpha}(t)$，通过 $r_{1-\alpha}^{-1}(t)$ 来逼近 $t^{-\alpha}$，提供了一种替代的有理逼近策略。
• Bonito 和 Pasciak 提出的求积法利用指数收敛的 Sinc 求积方案对 $A^{\alpha}$ 的积分表示进行逼近，同样将问题转化为求解移位系统。
• 上述三种方法均将 $A^{\alpha} u = f$ 的求解转化为求解一系列形式为 $(A + cI)u = f$（其中 $c \geq 0$）的线性系统，从而可高效使用迭代求解技术。
• 在二维泊松型问题上实现并测试了这些方法，采用均匀有限差分和有限元离散化，右端项分别为棋盘型和余弦型。
• 在不同网格尺寸 $h$ 和分数阶幂 $\alpha \in (0,1)$ 下进行了数值实验，通过测量 $\ell^2$ 和 $\ell^\infty$ 误差来比较精度与计算成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 新提出的 R-BURA 方法在求解分数阶扩散问题时，其精度与效率相较于成熟的 BURA 方法和求积法如何？
• RQ2 R-BURA 方法是否在 $\alpha$ 接近 1 时表现优于 BURA？因为已知 BURA 在 $\alpha$ 接近 0 时最为精确。
• RQ3 在三种方法中，为达到给定精度水平，其计算成本（特别是需求解的移位系统数量）如何？
• RQ4 对于固定的 $h$，BURA 和 R-BURA 的收敛速率如何随有理逼近次数的变化而变化？与求积法的指数收敛性相比如何？
• RQ5 是否可以利用 BURA 和 R-BURA 的互补行为，设计一种混合方法，以在 $\alpha \in (0,1)$ 的全范围内实现更高的整体效率？

主要发现

• 当 $\alpha = 0.25$ 时，(9,9)-BURA 方法需求解 10 个线性系统，但其精度低于需求解 37 个系统的 37-Q 方法（$f_1$ 时）和 39 个系统的 37-Q 方法（$f_2$ 时），表明其在相近精度下计算成本更高。
• 当 $\alpha = 0.5$ 时，$k$-Q 方法需 $k=16$ 才能优于 (7,7)-BURA，$k=16$ 才能优于 (8,7)-R-BURA，$k=20$ 才能优于 (8,8)-R-BURA，表明求积法需更高阶有理逼近才能达到 R-BURA 的精度。
• 当 $\alpha = 0.75$ 时，$k$-Q 方法需 $k=13$ 才能优于 (7,7)-BURA，$k=17$ 才能优于 (8,7)-R-BURA，$k=25$ 才能优于 (8,8)-R-BURA，表明在高 $\alpha$ 情况下，R-BURA 显著优于求积法。
• 对于 $f_2$ 和 $\alpha = 0.75$ 的情形，$k$-Q 方法需 $k=29$ 才能优于 (8,8)-R-BURA，表明 R-BURA 的效率可比对应求积求解器高出四倍。
• R-BURA 方法在固定 $h$ 下，其收敛速率随逼近次数呈指数级下降，与 BURA 和求积法类似，但在 $\alpha$ 接近 1 时性能更优。
• 本研究证实 BURA 和 R-BURA 方法具有互补性：当 $\alpha \to 0$ 时，BURA 最为有效；当 $\alpha \to 1$ 时，R-BURA 表现更优；两者在固定 $h$ 下均表现出指数收敛，且随着 $h \to 0$，精度均下降。