[论文解读] Comparison between rigid syntomic and crystalline syntomic cohomology for strictly semistable log schemes with boundary

Veronika Ertl, Kazuki Yamada|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文为混合特征（0,p）的完备离散赋值环上的严格半稳定对数概形引入了刚性 syntomic 上同调，并在存在良好紧化时建立了其与 Nekovář–Nizioł 的晶体 syntomic 上同调之间的比较同构。关键技术进展是对 Große-Klönne 的刚性 Hyodo–Kato 理论的修改及其在具有边界的对数概形上的推广，从而实现了对特征值为 $p^r$（$r \geq -1$）的 Frobenius 特征空间上 Frobenius 与 Hyodo–Kato 映射的典范复形与兼容性。结果确认了在可紧化情形下刚性与晶体 syntomic 上同调的兼容性。

ABSTRACT

We introduce rigid syntomic cohomology for strictly semistable log schemes over a complete discrete valuation ring of mixed characteristic (0,p). In case a good compactification exists, we compare this cohomology theory to Nekovář-Nizioł's crystalline syntomic cohomology of the generic fibre. The main ingredients are a modification of Große-Klönne's rigid Hyodo-Kato theory and a generalisation of it for strictly semistable log schemes with boundary.

研究动机与目标

• 为混合特征（0,p）中严格半稳定对数概形发展一种纯粹分析的 $p$-进上同调理论，适用于计算 $p$-进正规化。
• 通过构造典范刚性复形，克服对局部提升依赖所导致的对数刚性上同调中的技术困难。
• 将 Große-Klönne 的刚性 Hyodo–Kato 理论推广至具有边界的对数概形，以实现与晶体 syntomic 上同调的比较。
• 在良好紧化情形下，建立刚性与晶体 syntomic 上同调之间的比较同构。
• 证明在特征值为 $p^r$（$r \geq -1$）的 Frobenius 特征空间上，刚性与晶体 Hyodo–Kato 映射的兼容性。

提出的方法

• 通过修改 Große-Klönne 的刚性 Hyodo–Kato 理论，为精细对数概形及具有边界的对数概形构造典范刚性复形。
• 通过单纯化解与具有边界的 T-概形，定义具有边界的严格半稳定对数概形的刚性 Hyodo–Kato 上同调。
• 利用对数收敛上同调作为桥梁，比较刚性与晶体上同调，借助晶体与收敛 Poincaré 引理。
• 建立刚性 Hyodo–Kato 复形上的基变换与 Frobenius 结构的兼容性，确保其与 Frobenius 特征空间的兼容性。
• 构造包含刚性、收敛与晶体上同调理论的交换图，包含比较映射与拟同构。
• 证明典范态射 $\mathrm{sp}: R\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K) \to R\Gamma_{\mathrm{rig}}(X_0/O_\pi^K)$ 是拟同构，从而确认 Frobenius 特征空间上 Hyodo–Kato 映射的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在混合特征（0,p）中为具有边界的严格半稳定对数概形定义刚性 syntomic 上同调？
• RQ2 为实现函子性与 Frobenius 兼容性，对 Große-Klönne 的刚性 Hyodo–Kato 理论需进行何种修改？
• RQ3 是否存在一种避免对局部提升依赖的刚性上同调复形的典范构造？
• RQ4 在存在良好紧化的情形下，能否将刚性 syntomic 上同调与晶体 syntomic 上同调进行比较？
• RQ5 在特征值为 $p^r$（$r \geq -1$）的 Frobenius 特征空间上，刚性与晶体 Hyodo–Kato 映射是否兼容？

主要发现

• 为混合特征（0,p）中具有边界的严格半稳定对数概形构造了刚性 syntomic 上同调。
• 通过涉及对数收敛上同调与晶体上同调的图表，证明了在特征值为 $p^r$（$r \geq -1$）的 Frobenius 特征空间上，刚性 Hyodo–Kato 映射与晶体 Hyodo–Kato 映射的兼容性。
• 典范态射 $\mathrm{sp}: R\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K) \to R\Gamma_{\mathrm{rig}}(X_0/O_\pi^K)$ 是拟同构，确认了 Hyodo–Kato 映射的兼容性。
• 刚性 syntomic 上同调的构造与上面对积兼容，因其方法与 [8, §2.4] 中一致。
• 在 $R\Gamma_{\mathrm{rig}}((V^\bullet, P^\bullet)/T)$ 上的 Frobenius 自同态定义良好，并与特殊纤维的刚性上同调上的 Frobenius 兼容。
• 对所有 $r \geq 0$，建立了定义 $R\Gamma_{\mathrm{rig}}^{\mathrm{syn}}((X_0,X_0), r, \pi)$ 与 $R\Gamma_{\mathrm{cr}}^{\mathrm{syn}}(X, r, \pi)$ 的图之间的拟同构，从而在可紧化情形下确认了比较结果。