[论文解读] Comparison between some norm and order gauge integrals in Banach lattices

Domenico Candeloro, Anna Rita Sambucını|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 35被引用 13

一句话总结

本文比較了取值於Banach格的函數的範數型與序型Henstock及McShane積分，特別著重於L-空間。研究結果顯示，序積分通常比範數積分更強，但在L-空間中，序Henstock積分可推出Bochner可積性；且當取樣函數為有界時，若取樣函數可測，則序型Henstock與McShane積分等價。

ABSTRACT

Henstock-type integrals are considered, for functions defined in a Radon measure space and taking values in a Banach lattice X considering the norm and the order structure of the space. A number of results are obtained, highlighting the differences between them, specially in the case of L-space-valued functions.

研究动机与目标

• 比較Banach格中範數型與序型取樣積分的性質與關係。
• 探討這些積分在L-空間與M-空間中的行為，特別是關於可積性與等價性。
• 建立序型積分推出Bochner可積性的條件，特別是在L-空間中。
• 證明當取樣函數可測時，有界函數的序型Henstock與McShane積分等價。
• 釐清Henstock引理在序積分中的角色及其在L-空間中的後果。

提出的方法

• 使用基於取樣的分割（Perron與自由型）並結合標籤與可測集合，定義範數與序意義下的Henstock與McShane積分。
• 應用Cousin引理與點態非原子測度的性質，以確保細分割的存在。
• 引入可測取樣函數，並利用振幅估計控制小集合上函數值的變異。
• 運用(o)-Riemann可測性與(o)-序列來表徵序結構中的可積性。
• 利用序積分的Henstock引理，推導出收斂性與柯西型條件。
• 應用關於振幅與區間覆蓋的技術性引理，以界定自由分割中黎曼和之間的差異。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Banach格中，特別是在L-空間中，序型積分與範數型積分有何比較？
• RQ2 在何種條件下，序可積性會推出Bochner可積性？
• RQ3 當取樣函數可測時，有界函數的序型Henstock與McShane積分是否等價？
• RQ4 Henstock引理在序積分中扮演何種角色？其對L-空間中可積性的影響為何？
• RQ5 (o)-Riemann可測性與序意義下的(oB)-可積性之間有何關係？

主要发现

• 序積分一般不保持幾乎處處相等，僅對序有界的函數成立。
• 序Henstock積分滿足Henstock引理，進而可在L-空間中導出強收斂結果。
• 在L-空間中，序Henstock積分可推出Bochner可積性，從而建立序與範數可積性之間的強烈連結。
• 對於有界函數，當取樣函數可測時，序型Henstock與McShane積分等價，此結果延伸自範數情形的結果。
• 若一有界函數為(o)-Riemann可測，則其為(oB)-可積，此由基於(o)-序列的柯西條件所證明。
• 兩個γ′-細自由分割上黎曼和的差值被界定為5pₙ + 2Mn⁻¹，此式為(o)-序列，從而確認了(oB)-可積性的柯西條件。