[论文解读] Comparison-free polyregular functions

Lê Thành Dũng Nguyễn, Camille Noûs+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文引入了无比较多正则函数（cfp），即多正则函数的一个严格子类，其在 pebble 转导器中排除了对 pebble 头位置的比较。该类通过受限 pebble 转导器、代换与平方运算的归纳封闭性进行刻画，并证明其在复合运算下封闭，但不在 'map' 组合子下封闭。一个关键成果是证明了无比较版本的 pebble 最小化定理，其证明基于映射分析与 1-分裂分解。

ABSTRACT

This paper introduces a new automata-theoretic class of string-to-string functions with polynomial growth. Several equivalent definitions are provided: a machine model which is a restricted variant of pebble transducers, and a few inductive definitions that close the class of regular functions under certain operations. Our motivation for studying this class comes from another characterization, which we merely mention here but prove elsewhere, based on a $\lambda$-calculus with a linear type system.As their name suggests, these comparison-free polyregular functions form a subclass of polyregular functions; we prove that the inclusion is strict. We also show that they are incomparable with HDT0L transductions, closed under usual function composition -- but not under a certain ``map'' combinator -- and satisfy a comparison-free version of the pebble minimization theorem.On the broader topic of polynomial growth transductions, we also consider the recently introduced layered streaming string transducers (SSTs), or equivalently k-marble transducers. We prove that a function can be obtained by composing such transducers together if and only if it is polyregular, and that k-layered SSTs (or k-marble transducers) are closed under ``map'' and equivalent to a corresponding notion of (k+1)-layered HDT0L systems.

研究动机与目标

• 定义并刻画一个排除 pebble 头位置之间比较的多正则函数的新子类。
• 为该类建立等价的机器模型、逻辑定义与归纳定义。
• 证明其在函数复合下的封闭性，并证明该类的无比较版本 pebble 最小化定理。
• 表明其与 HDT0L 转导器的不可比较性，以及在 'map' 组合子下的非封闭性。
• 澄清分层 SST、k-marble 转导器与多正则函数之间的关系。

提出的方法

• 通过禁止比较头位置的 pebble 转导器受限变体来定义该类。
• 提供两种归纳刻画：对正则函数的代换封闭性，以及与受限平方运算的组合封闭性。
• 利用有限幺半群上的映射分析方法，研究函数在结构化输入上的行为。
• 应用先前工作中提出的 1-分裂引理，对输入字符串进行分解并分析输出长度的增长。
• 构造辅助函数（如 ρJ,k, ef′）以追踪输出长度中各分量的贡献。
• 通过反证法证明其在 'map' 下的非封闭性：假设 map(an ↦ an×n) 属于 cfp 将导致子串长度无界增长，与其实为二次输出大小相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在转导器中禁止比较 pebble 头位置，定义多正则函数的一个严格子类？
• RQ2 所得到的无比较多正则函数类是否严格小于完整的多正则函数类？
• RQ3 尽管排除了比较，该类在函数复合下是否仍保持封闭？
• RQ4 能否为该类证明无比较版本的 pebble 最小化定理？
• RQ5 该类在 'map' 组合子下是否封闭？

主要发现

• 无比较多正则函数类是多正则函数类的一个严格子类，如 map(an ↦ an×n) 函数不属该类所证实。
• 该类在函数复合下封闭，通过归纳定义与转导器复合得以确立。
• 该类在 'map' 组合子下不封闭，通过 map(an ↦ an×n) 函数的长度增长分析中出现矛盾得以证明。
• 无比较版本的 pebble 最小化定理成立：任何秩为 1 的 cfp 函数均可通过单个 pebble 与正则组件表示。
• 该类等价于正则函数在特定 '代换复合' 操作下的封闭，提供了逻辑刻画。
• 函数 map(an ↦ an×n) 无法表示为无比较多正则函数，因其输出长度增长在假设分解下导致子串长度无界。