[论文解读] Comparison of approaches to characteristic classes of foliations

Anton S. Galaev|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了通过叶空间上的无限阶标架丛定义的Losik叶丛特征类与Crainic和Moerdijk引入的Čech-de Rham上同调类之间的映射关系。利用Losik的形式几何框架，构造了从标架丛的de Rham上同调到叶空间的Čech-de Rham上同调的非单射同态，证明Losik的类映射到Crainic-Moerdijk的类，且通过Reeb叶丛的反例表明该映射一般不是单射。

ABSTRACT

It is shown that the characteristic classes of foliations that were defined by Losik and that take values in the de~Rham cohomology of the space of infinite order frames over the leaf space may be mapped to the characteristic classes with values in the Čech-de~Rham cohomology of the leaf space studied in details by Crainic and Moerdijk. This map is in general non-injective. All constructions are done using Losik's approach to Gelfand formal geometry. A similar result is obtained for the exotic characteristic classes as well as for the group actions of the diffeomorphisms. As illustrating examples, foliations of codimension one are discussed.

研究动机与目标

• 比较两种不同的叶丛特征类构造方法：Losik利用无限阶标架丛的构造，以及Crainic-Moerdijk对叶空间的Čech-de Rham上同调方法。
• 建立从Losik的特征类（在标架丛的de Rham上同调中）到Crainic-Moerdijk的类（在叶空间的Čech-de Rham上同调中）的典范同态。
• 证明该映射在一般情况下是非单射的，通过在S³上的Reeb叶丛作为反例，其中Godbillon-Vey类在de Rham上同调中为零，但在标架丛上同调中非零。
• 将构造推广到流形上的群作用，恢复Bott-Thurston上循环，并在微分同胚群作用的背景下展示类似的非单射性。

提出的方法

• 利用Losik的形式几何框架定义广义图册与Dₙ-空间，为叶空间M/ℱ提供光滑结构。
• 为每个Dₙ-空间X构造一个étale群概形G_X，使得Čech-de Rham上同调Ȟ*(X)同构于H*(BG_X)。
• 通过将标架丛的de Rham上同调与叶空间的Čech-de Rham上同调关联，建立从H*(S(X)/O(n))到Ȟ*(S(X)/O(n))的典范映射。
• 利用终端Dₙ-空间（带结构的点）实现Haefliger群概形Γₙ，并导出特征映射H*(Wₙ,O(n)) → H*(BΓₙ)。
• 应用链同伦论证，证明标架丛Q(X)的Čech-de Rham复形与X的复形之间是拟同构的，通过映射μ与λ及同伦F实现。
• 将构造应用于S³上的Reeb叶丛及S¹上的群作用，证明Godbillon-Vey类在H*(S(X)/O(1))中非平凡，尽管在H*(X)中为平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 Losik通过叶空间上无限阶标架丛的de Rham上同调定义的特征类，与Crainic和Moerdijk在叶空间的Čech-de Rham上同调中的类之间有何关系？
• RQ2 从Losik类到Crainic-Moerdijk类的自然映射是否为单射？如果不是，其非单射性的障碍是什么？
• RQ3 Godbillon-Vey类能否在标架丛上同调H*(S(M/ℱ)/O(n))中非平凡，而在叶空间上同调Ȟ*(M/ℱ)中为平凡？
• RQ4 该构造如何推广到流形上的群作用？能否恢复已知不变量如Bott-Thurston上循环？
• RQ5 终端Dₙ-空间在通过Haefliger群概形统一特征类构造中起什么作用？

主要发现

• 通过H*(S(M/ℱ)/O(n))定义的叶丛特征类映射到Crainic与Moerdijk在Ȟ*(M/ℱ)中的Čech-de Rham上同调类，建立了两种方法之间的典范同态。
• 诱导映射H*(S(M/ℱ)/O(n)) → Ȟ*(M/ℱ)在一般情况下是非单射的，如S³上的Reeb叶丛所示：Godbillon-Vey类在H³(S³)中为零，但在H³(S(S³/ℱ)/O(1))中非零。
• 通过终端Dₙ-空间，该构造恢复了Bott映射H*(Wₙ,O(n)) → H*(BΓₙ)，为这一基本映射提供了新的几何实现。
• 对于流形上的群作用，该方法导出映射H*(Wₙ) → H*(S(M/G)/O(n)) → H*(G;Ω(M))，在S¹上的作用中恢复了Bott-Thurston上循环。
• 标架丛Q(X)的Čech-de Rham复形与叶空间X的复形之间存在显式链同伦的拟同构，确认了同构关系Ȟ*(S(X)/O(n)) ≅ Ȟ*(X)。
• 通过S¹上群作用的一个例子进一步确认了该映射的非单射性：Godbillon-Vey类在H*(G;ℝ)中为平凡，但在H*(S(S¹/G)/O(1))中非平凡。