[论文解读] Comparison of arithmetic Brauer groups with geometric Brauer groups

Xinyi Yuan|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文比较了有限生成域上光滑射影概形的算术Brauer群与几何Brauer群，证明了从算术Brauer群模基域Brauer群到几何Brauer群的Galois不变部分的自然映射的余核在不同特征下为有限群或具有有限指数，具体取决于特征。关键方法是利用上同调技巧和Picard概形的拉回技巧，将先前仅适用于特征零的结果推广至所有特征。

ABSTRACT

Let $X$ be a projective and smooth variety over a field $k$. The goal of this paper is to prove that the cokernel of the canonical map $Br(X) o Br(X_{k^s})^{G_k}$ has a finite exponent. Both groups are natural invariants arising from consideration of the Tate conjecture of divisors over $X$.

研究动机与目标

• 比较有限生成域上光滑射影概形的算术Brauer群与几何Brauer群。
• 理解从Br(X)/Br(k)到Br(X^s)^{G_k}的自然映射的核与余核。
• 将Colliot-Thélène与Skorobogatov在特征零下的有限性结果推广至任意特征。
• 建立余核的精确界限，包括其作为有限群或有限指数群的结构。
• 提供比较定理的完整且自包含的证明，澄清文献中已知的结果。

提出的方法

• 通过将X限制到超平面截痕Ci上使用拉回技巧，将问题约化至低维情形。
• 应用étale上同调的谱序列，将Brauer群与Picard群及其Galois上同调联系起来。
• 利用一个充分线丛的上积配对，构造étale上同调正合序列的G_k-不变分裂。
• 将问题约化为研究X及其超平面截痕之间Picard概形的态射，特别关注Pic^0分量。
• 使用Poincaré的完全可约性定理分析与Picard概形相关的阿贝尔簇之间态射的核与余核。
• 利用弱Lefschetz定理证明Tate模上的限制映射是单射，从而推出Pic^0态射的核的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，映射Br(X)/Br(k) → Br(X^s)^{G_k}的余核如何表现？
• RQ2 当基域具有正特征时，余核的精确结构是什么？
• RQ3 通过超平面截痕的拉回技巧在多大程度上允许将Brauer群比较问题约化至低维情形？
• RQ4 能否在所有特征下统一建立余核的有限性与指数界？
• RQ5 在除子的Tate猜想背景下，几何Brauer群与算术Brauer群之间有何关系？

主要发现

• 映射Br(X)/Br(k) → Br(X^s)^{G_k}的核可自然地单射嵌入H^1(k, Pic(X^s))，其余核具有有限指数。
• 当基域k的特征为零时，该映射的余核是有限的。
• 当k的特征为正数p时，余核同构于一个与p互素的阶的有限群与一个有限指数的p-群的直和。
• 当k为有限域时，该映射的核与余核均为有限群。
• 比较定理在所有特征下统一成立，其证明方法与Colliot-Thélène与Skorobogatov在特征零下的结果一致。
• 证明依赖于通过阿贝尔子簇在Picard概形之间构造有限核与余核态射，利用弱Lefschetz定理与交配对的非退化性。