[论文解读] Comparison of holographic and field theoretic complexities by time dependent thermofield double states

Keun-Young Kim, Chao Niu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用 26

一句话总结

本文比较了四种计算热场双子态中时间依赖复杂度的方案——两种全息方案（CA 和 CV）以及两种量子场论方案（Fubini-Study 和 Finsler几何）。研究发现，尽管所有方法在晚近时间的复杂度增长均达到 Lloyd 界（$2E/(π\hbar)$），但早期行为存在差异：CV 和 Finsler几何呈现线性增长，Fubini-Study 呈现线性下降，而 CA 则无变化，表明 CV 与 Finsler 几何之间可能存在更深层次的联系。

ABSTRACT

We compute the time-dependent complexity of the thermofield double states by four different proposals: two holographic proposals based on the "complexity-action" (CA) conjecture and "complexity-volume" (CV) conjecture, and two quantum field theoretic proposals based on the Fubini-Study metric (FS) and Finsler geometry (FG). We find that four different proposals yield both similarities and differences, which will be useful to deepen our understanding on the complexity and sharpen its definition. In particular, at early time the complexity linearly increase in the CV and FG proposals, linearly decreases in the FS proposal, and does not change in the CA proposal. In the late time limit, the CA, CV and FG proposals all show that the growth rate is $2E/(π\hbar)$ saturating the Lloyd's bound, while the FS proposal shows the growth rate is zero. It seems that the holographic CV conjecture and the field theoretic FG method are more correlated.

研究动机与目标

• 比较四种不同方案在时间演化热场双子态（TFD）中的量子复杂度计算方法。
• 研究全息（CA 和 CV）与场论（FS 和 FG）复杂度定义之间的一致性与差异。
• 确定晚近时间复杂度增长速率是否匹配 Lloyd 界，以及各方法在早期动力学中的差异。
• 评估全息与场论方法之间的相关性，特别是 CV 与 Finsler 几何之间的潜在深层联系。

提出的方法

• 使用 CA 猜想计算复杂度，即等价于永恒 AdS 黑洞中 Wheeler-DeWitt 区域的行动量。
• 应用 CV 猜想，将复杂度定义为连接两个 AdS 边界时间片的类空截面的最大体积。
• 采用 Fubini-Study（FS）方法，通过量子态之间在 Fubini-Study 度量下的测地线长度计算复杂度。
• 使用 Finsler 几何（FG）方法，通过 Finsler 几何定义算符复杂度，并通过测地线优化将其推广至态复杂度。
• 为 FG 方法求解一个带约束的优化问题，在时间演化 TFD 态的边界条件下最小化 Finsler 长度。
• 利用算符分解 $\hat{U} = \prod_{\vec{k}} \hat{U}_{\vec{k}}$ 在动量空间中推导复杂度，其中 $\hat{U}_{\vec{k}}$ 由 $\gamma_{+}, \gamma_{-}, \gamma_{0}$ 参数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 四种复杂度方案——CA、CV、FS 和 FG——在时间演化热场双子态中的预测有何异同？
• RQ2 全息与场论复杂度定义是否在晚近时间行为上保持一致，特别是关于 Lloyd 界？
• RQ3 在四种方案下，复杂度的早期行为如何？这对其物理相关性有何启示？
• RQ4 鉴于 CV 与 Finsler 几何方法在时间演化上表现相似，是否存在更深层的结构性关联？
• RQ5 Finsler 几何方法能否提供一种与全息复杂度一致的动力学行为的可行场论替代方案？

主要发现

• 在早期，CV 和 Finsler几何（FG）方案预测复杂度线性增长，而 Fubini-Study（FS）方案显示线性下降，CA 方案则无变化。
• 在晚近时间极限下，CA、CV 和 FG 方案均得到复杂度增长速率为 $2E/(π\hbar)$，达到 Lloyd 界。
• Fubini-Study 方案在晚近时间极限下增长速率为零，表明尽管存在时间演化，复杂度并未增加。
• FG 方法的最小复杂度出现在 $\alpha_0(s,\vec{k}) = \alpha_-(s,\vec{k}) = 0$ 时，此时问题简化为 $\mathcal{C} = \ell_0 \int \text{d}^{d-1}k \, |\gamma_+(\vec{k})|$。
• CA 方案在整个时间演化过程中保持恒定，表明在此模型中时间演化不产生计算成本。
• CV 与 FG 方法之间的结构相似性暗示了全息体积复杂度与场论 Finsler 复杂度之间可能存在更深层的对应关系。