[论文解读] Comparison of matrix norms on bipartite spaces

Christopher King, Nilufer Koldan|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文比较了双分块矩阵空间上的两种非交换 $L^q(L^p)$ 范数：Carlen-Lieb 范数与 Pisier 型范数。研究证明，在 $1 \leq p \leq 2$，$q \geq 1$ 条件下，Pisier 型范数被一个常数倍的 Carlen-Lieb 范数上界控制，但进一步表明二者在一般情况下不等价——特别是当 $p=2 < q$ 时，不存在下界，意味着该情况下范数不等价。作者推测这种不等价性在所有情况下均成立。

ABSTRACT

Two non-commutative versions of the classical L^q(L^p) norm on the algebra of (mn)x(mn) matrices are compared. The first norm was defined recently by Carlen and Lieb, as a byproduct of their analysis of certain convex functions on matrix spaces. The second norm was defined by Pisier and others using results from the theory of operator spaces. It is shown that the second norm is upper bounded by a constant multiple of the first for all 1 &lt;= p &lt;= 2, q &gt;= 1. In one case (2 = p &lt; q) it is also shown that there is no such lower bound, and hence that the norms are inequivalent. It is conjectured that the norms are inequivalent in all cases.

研究动机与目标

• 比较 $\mathcal{M}_n \otimes \mathcal{M}_m$ 上的两种非交换 $L^q(L^p)$ 范数：Carlen-Lieb 范数与 Pisier 型范数。
• 确定这两种范数是否等价，或是否存在一方主导另一方。
• 在量子信息理论背景下探究这两种范数的关系，其中二者均源于熵次可加性与完全正映射等基本概念。
• 建立范数的界，并探讨其等价或不等价的条件。

提出的方法

• Carlen-Lieb 范数通过正分解的下确界定义，基于块矩阵表示 $Y$ 的凸性，利用正定矩阵上的 $\Psi_{p,q}$ 函数。
• Pisier 型范数的定义取决于 $p$ 与 $q$ 的相对大小：当 $p \leq q$ 时，通过算子缩放的上确界定义；当 $p \geq q$ 时，通过算子分解的下确界定义，其中参数 $r$ 满足 $r^{-1} = |p^{-1} - q^{-1}|$。
• 当 $p \leq q$ 时，范数表示为 $\|Y\|_{NC} = \sup_{C \geq 0, \operatorname{Tr} C = 1} \|(C^{1/2r} \otimes I_m) Y (C^{1/2r} \otimes I_m)\|_p$，利用凹性与酉不变性。
• 当 $p=2 < q$ 时，论文利用一个关键不等式 $\operatorname{Tr}_2(Y+A)^2 + \operatorname{Tr}_2 A^2 \geq \frac{1}{2} \operatorname{Tr}_2 Y^2$ 来下界估计 Carlen-Lieb 范数。
• 在 $p=2 < q$ 情况下，通过构造一列正半定矩阵 $Y^{(k)}$，其中特征值 $\lambda_j = c/j$，证明 $\|Y^{(k)}\|_{NC}^{-1} \Psi_{p,q}(Y^{(k)}) \to \infty$ 当 $k \to \infty$，表明不存在统一的下界。
• 分析依赖于 Hölder 不等式、迹凹性以及酉共轭下的对称性，将上确界简化为对角密度矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $1 \leq p \leq 2$，$q \geq 1$ 条件下，Carlen-Lieb 范数与 Pisier 型范数在 $\mathcal{M}_n \otimes \mathcal{M}_m$ 上是否等价？
• RQ2 在指定参数范围内，Pisier 型范数是否被一个常数倍的 Carlen-Lieb 范数上界控制？
• RQ3 当 $p=2 < q$ 时，若两范数间无下界，是否意味着它们不等价？
• RQ4 该不等价性是否可推广至所有 $1 \leq p \leq 2$，$q \geq 1$？
• RQ5 特定矩阵序列下，比值 $\Psi_{p,q}(Y)/\|Y\|_{NC}$ 的渐近行为如何？

主要发现

• 对于所有 $1 \leq p \leq 2$，$q \geq 1$，Pisier 型范数被一个常数倍的 Carlen-Lieb 范数上界控制，确立了一种单向控制关系。
• 当 $p=2 < q$ 时，不存在下界：沿一列矩阵有 $\|Y\|_{NC}^{-1} \Psi_{p,q}(Y) \to \infty$，证明范数不等价。
• 比值 $\Psi_{p,q}(Y)^p / \|Y\|_{NC}^p$ 的下界为 $\|D\|_{q/p} / \|D\|_{r'}^p$，当 $p < q$ 时该下界随 $n \to \infty$ 发散，确认不存在统一的下界。
• 当 $p=2 \leq q$ 时，Carlen-Lieb 范数满足 $\|Y\|_{CL} \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \Psi_{2,q}(Y)$，为该情形提供了有用的下界。
• 在 $p \leq q$ 时，Pisier 型范数表达式中的上确界在对角密度矩阵上达到，从而简化了优化问题。
• 分析表明，范数在一般情况下不等价，作者推测其在所有 $1 \leq p \leq 2$，$q \geq 1$ 情况下均不等价。