[论文解读] Comparison of max-plus automata and joint spectral radius of tropical matrices

Laure Daviaud, P. Guillon+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Formal Methods in Verification被引用 4

一句话总结

本文通過從雙計數機器的停機問題歸約，確立了在tropical半環上有限矩陣集的聯合譜半徑與極限秩的不可判定性。研究證明，即使在嚴格限制下（例如所有狀態同時為初始與終止狀態，或狀態數量有限，少至553個），max-plus自動機的比較問題仍為不可判定，從而揭示了tropical代數結構中關鍵矩陣與自動機性質可計算性的根本限制。

ABSTRACT

Weighted automata over the max-plus semiring S are closely related to finitely generated semigroups of matrices over S. In this paper, we use results in automata theory to study two quantities associated with sets of matrices: the joint spectral radius and the ultimate rank. We prove that these two quantities are not computable over the tropical semiring, i.e. there is no algorithm that takes as input a finite set of matrices M and provides as output the joint spectral radius (resp. the ultimate rank) of M. On the other hand, we prove that the joint spectral radius is nevertheless approximable and we exhibit restricted cases in which the joint spectral radius and the ultimate rank are computable. To reach this aim, we study the problem of comparing functions computed by weighted automata over the tropical semiring. This problem is known to be undecidable and we prove that it remains undecidable in some specific subclasses of automata.

研究动机与目标

• 研究有限矩陣集在tropical半環上的聯合譜半徑與極限秩的可計算性。
• 確定max-plus自動機的比較問題在結構限制（如狀態數量有限或所有狀態同時為初始與終止狀態）下是否仍為不可判定。
• 建立自動機理論中的不可判定性與tropical代數中矩陣理論不變量之間的聯繫。
• 探討tropical矩陣理論中譜與秩相關不變量的可逼近性與可判定性的邊界。
• 提供比較問題仍為不可判定的狀態數量的更緊緻界，優於先前基於通用丟番圖方程的方法。

提出的方法

• 從雙計數機器（U2CM）的停機問題歸約，以證明max-plus自動機比較的不可判定性。
• 構造權重在{-1, 0, 1}中的max-plus自動機，模擬計數機器操作，透過路徑權重編碼狀態轉移與計數器值。
• 使用max-plus自動機的標準矩陣表示，將自動機函數與tropical矩陣的半群聯繫起來。
• 設計能計算表示計數機器有效執行的函數之自動機，當且僅當達到停機配置時輸出-1。
• 應用自動機理論結果，推導出tropical半環上聯合譜半徑與極限秩的不可計算性。
• 證明聯合譜半徑為可計算枚舉完全（computably-enumerable-complete），意味其不可計算但可逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限tropical矩陣集的聯合譜半徑是否可計算？
• RQ2 有限tropical矩陣集的極限秩是否可計算？
• RQ3 當所有狀態同時為初始與終止狀態時，max-plus自動機的比較問題是否仍為不可判定？
• RQ4 即使狀態數量有限，max-plus自動機的比較問題是否仍可能不可判定？
• RQ5 max-plus自動機中比較問題仍為不可判定的最小狀態數為多少？

主要发现

• tropical半環上有限矩陣集的聯合譜半徑與極限秩不可計算。
• 即使所有狀態同時為初始與終止狀態，max-plus自動機的比較問題仍為不可判定。
• 對於最多553個狀態的max-plus自動機，比較問題仍為不可判定。
• 聯合譜半徑為可計算枚舉完全，表示其不可計算但可逼近。
• 此不可判定性結果適用於權重在{-1, 0, 1}中的多項式模糊max-plus自動機。
• 該證明提供的不可判定性狀態數界，優於先前基於通用丟番圖方程的方法。