[论文解读] Comparison of modulational instabilities in full-dispersion shallow water models

Ashish Kumar Pandey|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文比较了全色散浅水模型中的调制不稳定性，包括Whitham方程、全色散Camassa-Holm（FDCH）方程以及两种双向模型（FDSW-I 和 FDSW-II），重点分析了表面张力对Benjamin-Feir型不稳定性的影响。研究发现，只有FDSW-I模型在表面张力极大时正确预测了有限的临界波数，与物理水波问题一致，而其他模型则失效或发散。

ABSTRACT

We study the modulational instability of a shallow water model, with and without surface tension, which generalizes the Whitham equation to include bi-directional propagation. Without surface tension, the small amplitude periodic traveling waves are modulationally unstable if their wave number is greater than a critical wave number predicting a Benjamin-Feir type instability and the result qualitatively agrees with the shallow water model in [HP16]. With surface tension, the result qualitatively agrees with the physical problem except for the large surface tension limit which is accurately predicted by the shallow water model in [HP16]. We also compare the results with the Whitham and full-dispersion Camassa-Holm equations.

研究动机与目标

• 分析带有和不带有表面张力的全色散浅水模型中，小振幅周期行波的调制不稳定性。
• 将不同全色散模型（Whitham、FDCH、FDSW-I 和 FDSW-II）的稳定性行为与物理水波问题进行比较。
• 确定哪一模型最准确地捕捉了在所有表面张力范围内（尤其是表面张力极大时）Benjamin-Feir不稳定的临界波数。
• 研究色散分支（正与负）在调制不稳定性中的作用，特别是在双向模型中的表现。
• 解决在表面张力极大区域中，近似模型与物理问题之间的差异，尤其是在稳定性转变非平凡的区域。

提出的方法

• 通过在小振幅周期波附近使用多尺度展开，推导出每种模型的调制不稳定性指数。
• 应用傅里叶乘子算子，其符号由包含表面张力效应的完整水波色散关系导出，表达式为 $ c_{\text{ww}}^2(\kappa) = (1 + T\kappa^2)\frac{\tanh(\kappa)}{\kappa} $。
• 识别出四种不同的共振机制（R1–R4），其中R3和R4涉及正负色散分支之间的相互作用。
• 比较不同模型及物理问题中，不稳定发生时的临界波数 $ \kappa_c(T) $ 随表面张力 $ T $ 的变化。
• 使用数值和渐近分析评估极限 $ \lim_{T \to \infty} \kappa_c(T) $，并与物理值约1.121进行比较。
• 构建稳定性图（图1），显示每种模型和物理问题的稳定（S）与不稳定（U）区域，并标注对应于不稳定机制的曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 表面张力如何影响全色散浅水模型中调制不稳定的临界波数？
• RQ2 在全色散模型中——Whitham、FDCH、FDSW-I 或 FDSW-II——哪一个最准确地再现了物理水波问题的稳定性行为，尤其是在表面张力极大的极限下？
• RQ3 为何某些模型无法正确预测临界波数在表面张力趋于无穷大时的有限极限，而另一些模型可以？
• RQ4 正负色散分支之间的相互作用在调制不稳定性中起什么作用？它们在单向与双向模型之间有何不同？
• RQ5 由于FDSW-I模型在大-$ T $行为上的正确性，是否可以认为它在捕捉物理不稳定性特征方面优于FDSW-II模型？

主要发现

• FDSW-I模型正确预测了 $ \lim_{T \to \infty} \kappa_c(T) \approx 1.054 $，该值为有限值且接近物理值约1.121。
• Whitham方程在表面张力极大极限下失效，其临界波数发散，与物理问题矛盾。
• FDCH方程在Whitham模型基础上有所改进，其 $ \lim_{T \to \infty} \kappa_c(T) \approx 1.283 $，但仍未能匹配物理极限。
• 当 $ 0 < T < 1/3 $ 时，所有模型在定性上与物理问题一致，均显示三个稳定和三个不稳定的波数区间。
• FDSW-II模型错误地预测在表面张力极大极限下所有小振幅周期波均为调制稳定，这与物理事实不符。
• 在所研究的四种模型中，只有FDSW-I模型正确捕捉了在表面张力极大区域中，从稳定到不稳定的物理过渡发生在有限临界波数处。