[论文解读] Comparison of MPS based real time evolution algorithms for Anderson Impurity Models

Daniel Bauernfeind, Markus Aichhorn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2019

Quantum and electron transport phenomena被引用 4

一句话总结

本文比较了基于矩阵乘积态（MPS）的实时间演化算法——TEBD与TDVP——在安德森杂质模型中的表现，分别采用星形结构和威尔逊链结构的 bath 表示。令人惊讶的是，星形结构下的 TEBD 在相同精度下比链结构下的 TDVP 快达五倍，使其成为 DMFT 计算中杂质求解器最高效的算法。

ABSTRACT

We perform a detailed comparison of two Matrix Product States (MPS) based time evolution algorithms for Anderson Impurity Models. To describe the bath, we use both the star-geometry as well as the commonly employed Wilson chain geometry. For each bath geometry, we use either the Time Dependent Variational Principle (TDVP) or the Time Evolving Block Decimation (TEBD) to perform the time evolution. To apply TEBD for the star-geometry, we use a specially adapted algorithm that can deal with the long-range coupling terms. Analyzing the major sources of errors, one expects them to be proportional to the system size for all algorithms. Surprisingly, we find errors independent of system size except for TEBD in chain geometry. Additionally, we show that the right combination of bath representation and time evolution algorithm is important. While TDVP in chain geometry is a very precise approach, TEBD in star geometry is much faster, such that for a given accuracy it is superior to TDVP in chain geometry. This makes the adapted version of TEBD in star geometry the most efficient method to solve impurity problems.

研究动机与目标

• 评估基于 MPS 的实时间演化算法——TEBD 与 TDVP——在求解安德森杂质模型时的精度与效率。
• 研究 bath 几何结构（星形 vs. 链形）对算法性能的影响，包括误差标度与计算成本。
• 确定在 DMFT 计算中实现高精度、低成本杂质求解的最优时间演化算法与 bath 表示组合。
• 解决关于误差标度的矛盾预期，特别是误差是否随系统尺寸增长而增长。

提出的方法

• 研究采用星形结构和威尔逊链结构的 bath 表示，bath 参数由杂化函数导出。
• 时间演化方面，TEBD 与 TDVP 分别应用于两种 bath 几何结构，其中针对星形结构中的长程耦合，特别设计了一种使用交换门的 TEBD 算法。
• 通过实时间演化计算杂质格林函数，时间范围至 t=15，使用 DMRG 方法为 N=59 个自旋位点初始化 MPS 基态。
• 通过与参考计算结果对比进行误差分析，参考计算采用链结构下的 TDVP（Δt=0.005，tw=10−13）和星形结构下的 TEBD（Δt=0.005，tw=10−14）。
• 系统性地改变时间步长（Δt）与截断权重（tw），以量化误差与计算时间之间的权衡。
• 为两种几何结构推导了 Sutlier-Trotter 分解的解析误差估计，以理解其标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 bath 几何结构是否显著影响基于 MPS 的实时间演化在杂质模型中的精度与计算成本？
• RQ2 为何星形结构下的 TEBD 展现出与系统尺寸无关的有利误差标度，与预期相反？
• RQ3 是否存在一种时间演化算法与 bath 几何结构的组合，可在 DMFT 应用中同时实现高精度与低计算成本？
• RQ4 TEBD 与 TDVP 在星形与链形几何结构下的误差分别如何随系统尺寸标度？
• RQ5 针对给定的误差容限，为星形结构设计的改进 TEBD 算法是否能在效率上超越标准的链结构 TDVP？

主要发现

• 在相同目标误差下，星形结构下的 TEBD 计算时间比链结构下的 TDVP 低至五倍，使其成为最高效的算法。
• 仅在链形结构下的 TEBD 显示出与系统尺寸成比例的误差标度；其余所有组合——包括星形结构下的 TEBD——均表现出近乎与系统尺寸无关的误差。
• 星形结构下 TEBD 的有利误差标度源于 bath 态已接近单粒子本征基，从而抑制了主要误差贡献。
• 链形结构下的 TDVP 在给定参数下产生最低的绝对误差，但计算时间显著更高。
• 采用交换门的改进 TEBD 算法可在星形结构中实现高效时间演化，且无额外计算开销。
• 对于需要大 bath 尺寸以准确表示杂化的 DMFT 应用，星形结构下 TEBD 的系统尺寸无关误差标度是一项关键优势。