[论文解读] Comparison of Multi-Parametric Programming, Mixed-Integer Programming, Gradient Descent Based, Hybrid Minimum Principle, and the Embedding Approach on Six Published Hybrid Optimal Control Examples

Richard Meyer, Miloš Žefran+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2012

Advanced Control Systems Optimization被引用 1

一句话总结

本文在六个混合最优控制问题上对比了嵌入法与多参数规划、混合整数规划（CPLEX）、梯度下降法以及混合最小值原理方法。结果表明，嵌入法在除存在自主切换的情况外，性能指标成本更低、求解速度更快、收敛性更好，且无需对模式序列做假设，同时在不引入组合复杂性的情况下处理非线性系统。

ABSTRACT

In recent years, the embedding approach for solving switched optimal control problems has been developed in a series of papers. However, the embedding approach, which advantageously converts the hybrid optimal control problem to a classical nonlinear optimization, has not been extensively compared to alternative solution approaches. The goal of this paper is thus to compare the embedding approach to multi-parametric programming, mixed-integer programming (e.g., CPLEX), and gradient-descent based methods in the context of five recently published examples: a spring-mass system, moving-target tracking for a mobile robot, two-tank filling, DC-DC boost converter, and skid-steered vehicle. A sixth example, an autonomous switched 11-region linear system, is used to compare a hybrid minimum principle method and traditional numerical programming. For a given performance index for each case, cost and solution times are presented. It is shown that there are numerical advantages of the embedding approach: lower performance index cost (except in some instances when autonomous switches are present), generally faster solution time, and convergence to a solution when other methods may fail. In addition, the embedding method requires no ad hoc assumptions (e.g., predetermined mode sequences) or specialized control models. Theoretical advantages of the embedding approach over the other methods are also described: guaranteed existence of a solution under mild conditions, convexity of the embedded hybrid optimization problem (under the customary conditions on the performance index), solvability with traditional techniques (e.g., sequential quadratic programming) avoiding the combinatorial complexity in the number of modes/discrete variables of mixed-integer programming, applicability to affine nonlinear systems, and no need to explicitly assign discrete/mode variables to autonomous switches.

研究动机与目标

• 评估嵌入法在求解混合最优控制问题方面相对于现有方法的性能表现。
• 解决嵌入法与混合整数规划、基于梯度的方法等替代技术之间缺乏全面比较的问题。
• 评估嵌入法在解的质量、速度和鲁棒性方面的数值与理论优势。
• 考察嵌入法在无需预设模式序列或离散变量赋值的情况下，对仿射非线性系统的适用性。
• 在基准算例和一个复杂的11区域线性系统上验证该方法的有效性。

提出的方法

• 通过引入离散切换变量的连续松弛，嵌入法将切换最优控制问题重新表述为经典非线性优化问题。
• 该方法利用标准非线性规划求解器（如序列二次规划）求解嵌入问题，避免了离散变量带来的组合爆炸。
• 为进行对比，研究将多参数规划、混合整数规划（使用CPLEX）、基于梯度下降的方法以及混合最小值原理应用于同一组六个基准问题。
• 通过所有方法和算例的性能指标成本与求解时间来评估性能表现。
• 分析了嵌入问题的凸性等理论性质，以及在弱条件下保证解存在的特性。
• 该方法被应用于自主切换与受控切换系统，包括一个11区域线性系统，以测试混合最小值原理的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合最优控制问题上，嵌入法与多参数规划、混合整数规划及基于梯度下降的方法相比，在解的成本和计算时间方面表现如何？
• RQ2 当其他方法失效时，嵌入法是否在收敛可靠性方面表现更优？
• RQ3 与MIP等组合方法相比，嵌入法在凸性与解存在性等理论优势方面有何表现？
• RQ4 当模式转换在无控制输入下发生（即自主切换）时，嵌入法如何处理？
• RQ5 嵌入法是否能够在不预设模式序列或专用离散模型的情况下求解仿射非线性系统？

主要发现

• 在大多数情况下，嵌入法获得的性能指标成本低于其他方法，但在存在自主切换时除外。
• 嵌入法的求解时间普遍快于混合整数规划和基于梯度下降的方法。
• 在其他方法失效的情况下，嵌入法仍能收敛到解，表现出更优的鲁棒性。
• 该方法无需引入人为假设，如预设的模式序列或对自主切换的离散变量显式赋值。
• 在标准性能指标条件下，嵌入问题具有凸性，从而可使用标准非线性规划技术求解。
• 建立了嵌入法在经典优化方法下解的存在性与可解性的理论保证。