[论文解读] Comparison of prismatic cohomology and derived de Rham cohomology

Shizhang Li, Tong Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文在 $p$-进形式概形上建立了棱锥上同调与导出 de Rham 上同调之间的比较同构，保持 Frobenius 作用与滤子结构。该结果被应用于证明：在 $\mathcal{O}_K$ 上光滑射影形式概形的挠晶格上同调，同构于被 $\mathbb{Z}_p(i)$ 扭转的 étale 上同调，改进了 Breuil–Caruso 在条件 $ei < p-1$ 下的先前结果。该结论将 Fontaine–Laffaille 和 Caruso 的定理推广至更广泛的概形类与上同调理论。

ABSTRACT

We establish a comparison isomorphism between prismatic cohomology and derived de Rham cohomology respecting various structures, such as their Frobenius actions and filtrations. As an application, when $X$ is a proper smooth formal scheme over $\mathcal O_K$ with $K$ being a $p$-adic field, we improve Breuil--Caruso's theory on comparison between torsion crystalline cohomology and torsion étale cohomology.

研究动机与目标

• 在 $\mathcal{O}_K$ 上光滑射影形式概形上建立棱锥上同调与导出 de Rham 上同调之间的比较同构。
• 将晶格上同调与挠 étale 上同调之间的比较从半稳定情形推广至光滑形式概形。
• 在条件 $ei < p-1$ 下，证明晶格上同调上的 $T_{\operatorname{st},\star}$ 函子可恢复几何一般纤维的 étale 上同调及其 $G_K$-作用。
• 通过导出 de Rham 与棱锥形式语言，阐明滤子、Frobenius 与单值性在上同调结构中的作用。

提出的方法

• 利用横截棱锥与导出 de Rham 复形，构造棱锥上同调与导出 de Rham 上同调之间的比较同构。
• 利用导出 de Rham 复形上的 Nygaard 滤子与 Hodge 滤子，比较两种上同调理论中的滤子结构。
• 通过 $\mathfrak{S}$-代数的棱锥结构，定义导出 de Rham 复形与棱锥上同调之间的 Frobenius-等变映射。
• 利用导出 de Rham 复形上的联络，提升单值性算子，并将其与晶格联络联系起来。
• 利用广义 Kisin 模与挠 Breuil 模理论，将上同调与 Galois 表示联系起来。
• 通过 $\widehat{A}_{\operatorname{st}}$-模中显式计算与 $\beta$-作用，建立比较同构与 $G_K$-作用的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 棱锥上同调与导出 de Rham 上同调在 Frobenius 作用与滤子结构方面如何比较？
• RQ2 晶格上同调与 étale 上同调之间的比较能否在 $\mathcal{O}_K$ 上光滑射影形式概形上，超越半稳定情形？
• RQ3 晶格上同调上的 $T_{\operatorname{st},\star}$ 函子与几何一般纤维的 étale 上同调之间的确切关系为何？
• RQ4 导出 de Rham 复形上的滤子（Hodge 与 Nygaard）如何与 $H^i_{\operatorname{crys}}(X_n/S_n)$ 上的晶格滤子相关联？
• RQ5 在比较同构下，$G_K$-作用在挠晶格上同调上是否与在导出 de Rham 复形上的 $G_K$-作用相容？

主要发现

• 建立了棱锥上同调与导出 de Rham 上同调之间的自然比较同构，该同构保持 Frobenius 作用与滤子结构。
• 该同构诱导出晶格上同调上 $T_{\operatorname{st},\star}$-函子与扭 étale 上同调 $H^i_{\text{ét}}(X_{\overline{\eta}}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})(i)$ 之间的自然识别，作为 $\mathbb{Z}_p[G_K]$-模。
• 条件 $ei < p-1$ 确保对所有 $n$ 同构成立，优于 Caruso 的结果，后者依赖于 $n$。
• 导出 de Rham 上同调上的滤子（Hodge 与 Nygaard）被证明对应于 $H^i_{\operatorname{crys}}(X_n/S_n)$ 上的晶格滤子与 Breuil–Kisin 滤子。
• 映射 $\alpha: \mathcal{M} \to \mathcal{M}^\nabla$ 是与滤子和 Frobenius 相容的 $S$-模同构，从而证明 $T_S(\mathcal{M}) \simeq T_{\operatorname{st},\star}(\mathcal{M})$。
• 通过 $\widehat{A}_{\operatorname{st}}$ 中 $\beta$-作用定义的 $G_K$-作用在 $T_S(\mathcal{M})$ 上，与 $T_{\operatorname{st},\star}(\mathcal{M})$ 上的标准 $G_K$-作用一致，确认了相容性。